Phương trình Maxwell

Phát triển

Phương trình Maxwell-Gauss

Phương trình Maxwell-Gauss thừa hưởng từ định lý Gauss mô tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó:

${\oint }_S𝐃\cdot d𝐀=\underset{V}{\int }\rho dV$

Phương trình này nói lên rằng: mật độ điện tích là nguồn của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (vế phải) sẽ gây nên một điện trường có điện cảm D thể hiện ở vế trái.

Ví dụ: một điện tích điểm q nằm ở gốc tọa độ O. Định luật Coulomb cho biết trường tĩnh điện sinh ra bởi điện tích điểm này tại một điểm M trong không gian. Ta có

$𝐎𝐌=𝐫=r{𝐮}_r$

Với

${𝐮}_r$ là vectơ li tâm có độ lớn đơn vị:

$𝐄(M)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{𝐮}_r$

Trường tĩnh điện này thỏa mãn phương trình Maxwell-Gauss với mật độ điện tích:

$\rho (𝐫,t)=q{\delta }^{(3)}(𝐫)$

Trong đó

${\delta }^{(3)}(𝐫)$ là hàm delta Dirac ba chiều.

Bảo toàn thông lượng

Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không:

${\oint }_S𝐁\cdot d𝐒=0$

Điều này chỉ ra sự không tồn tại của đơn cực từ. Tương tự như điện tích điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường là các thanh nam châm. Một thanh nam châm là một lưỡng cực từ bao gồm cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và bắc riêng biệt.

Phương trình Maxwell-Faraday

Phương trình Maxwell-Faraday hay Định luật cảm ứng Faraday (còn gọi là Định luật Faraday-Lenz) cho biết mối liên hệ giữa biến thiên từ thông trong diện tích mặt cắt của một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó.

${\oint }_S𝐄\cdot d𝐬=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}$

Với

E là điện trường cảm ứng,

ds là một phần tử vô cùng bé của vòng kín và dΦ_B/dt là biến thiên từ thông.

Phương trình Maxwell-Ampere

Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự lan truyền từ trường trong mạch kín với dòng điện đi qua đoạn mạch:

${\oint }_S𝐁\cdot d𝐬={\mu }_0{I}_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}={\mu }_o(I+I_D)={\mu }_o(I+ϵ\frac{d{\varphi }_E}{dt})$

Trong đó:

$𝐁$ là từ trường,

$d𝐬$ là thành phần vi phân của mạch kín $S$,

$I_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}$ là dòng điện bao phủ bởi đường cong $S$,

${\mu }_0$ là độ từ thẩm của môi trường,

${\oint }_S$ là đường tích phân theo mạch kín $S$.

Phương trình Điện từ nhiểm Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
• Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
• Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Phương trình Điện từ Maxwell bao gồm 4 phương trình Maxwell được viết dưới dạng phương trình tích phân hay phương trình đạo hàm

Định luật từ nhiểm	Phương trình đạo hàm từ nhiểm Maxwell	Phương trình tích phân từ nhiểm Maxwell
Định luật Gauss:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$	${\oint }_S𝐃\cdot d𝐀=\underset{V}{\int }\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐀=0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐀$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$	${\oint }_C𝐇\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }𝐉\cdot d𝐀+\frac{d}{dt}\underset{S}{\int }𝐃\cdot d𝐀$

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Ký hiệu	Ý nghĩa	Đơn vị trong hệ SI
$𝐄$	Cường độ điện trường	volt / mét
$𝐇$	Cường độ từ trường	ampere / mét
$𝐃$	Độ điện dịch (Điện cảm)	coulomb / mét vuông
$𝐁$	Vectơ cảm ứng từ	tesla, weber / mét vuông
$\rho$	Mật độ điện tích,	coulomb / mét khối
$𝐉$	Mật độ dòng điện,	ampere / mét vuông
$d𝐀$	Vectơ vi phân diện tích A, có hướng vuông góc với mặt S	mét vuông
$dV$	Vi phân của thể tích V được bao bọc bởi diện tích S	mét khối
$d𝐥$	Vectơ vi phân của đường cong, tiếp tuyến với đường kính C bao quanh diện tích S	mét
$\mathrm{\nabla }\cdot$ (còn gọi là div)	toán tử tính suất tiêu tán: $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{a}}=(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z})$	trên mét
$\mathrm{\nabla }\times$ (còn gọi là rot)	toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ.	trên mét

Các đại lượng D và B liên hệ với E và H bởi:

$𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0𝐄=\epsilon 𝐄$

$𝐁={\mu }_0(𝐇+𝐌)=(1+{\chi }_m){\mu }_0𝐇=\mu 𝐇$

Trong đó:

${\chi }_e$ là hệ số cảm ứng điện của môi trường,

${\chi }_m$ là hệ số cảm ứng từ của môi trường,

ε là hằng số điện môi của môi trường, và

μ là hằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerr và hiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

$𝐏={\chi }_e{\epsilon }_0𝐄$

$𝐌={\chi }_m𝐇$

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot \epsilon 𝐄=\rho$

$\mathrm{\nabla }\cdot \mu 𝐇=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\mu \frac{\partial 𝐇}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\epsilon \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε₀ và μ₀ (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

$𝐃={\epsilon }_0𝐄$

$𝐁={\mu }_0𝐇$

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐇=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-{\mu }_0\frac{\partial 𝐇}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐇={\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}$

Ký hiệu	Tên	Giá trị	Đơn vị trong hệ SI
$c$	Vận tốc ánh sáng	$2.998\times 10^8$	mét trên giây
${\epsilon }_0$	Độ điện thẩm chân không	$8.854\times 10^{-12}$	fara / mét
${\mu }_0$	Độ từ thẩm chân không	$4\pi \times 10^{-7}$	henry / mét

Hệ đơn vị CGS

Các phương trình trên được cho trong hệ đo lường quốc tế (viết tắt là SI). Trong hệ CGS (hệ xentimét-gam-giây), các phương trình trên có dạng sau:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=4\pi \rho$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{4\pi }{c}𝐉$

Trong chân không, các phương trình trên trở thành:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

Phương trình sóng điện từ Laplace

Sóng điện từ được tìm thấy từ mạch điện của cuộn từ dẩn điện . Sóng điện từ được tạo ra từ 2 trường Điện trường và Từ trường vuông góc với nhau di chuyển ở vận tốc bằng vận tốc ánh sáng thấy được

Trong chân không không có điện

Trong trường hợp điện trường và/hoặc từ trường biến đổi trong chân không và không có dòng điện hay điện tích tự do trong không gian đang xét

Có thể chứng minh dao động điện từ lan truyền trong không gian dưới dạng sóng bằng 4 phương trình Maxwell sau

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0(1)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial }{\partial t}𝐁(2)$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0(3)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}𝐄(4)$

Nghiệm tầm thường của hệ phương trình trên là:

$𝐄=𝐁=\mathrm{𝟎}$,

Để tìm nghiệm không tầm thường, có thể sử dụng đẳng thức giải tích véc tơ:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀$

Bằng cách lấy rôta hai vế của phương trình (2):

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})(5)$

Rồi đơn giản hóa vế trái (tận dụng phương trình (1) trong quá trình đơn giản hóa):

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄=-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄(6)$

Và đơn giản hóa vế phải (tận dụng phương trình (4) trong quá trình đơn giản hóa):

$\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}t}𝐄(7)$

Cân bằng 2 vế (6) và (7) để thu được phương trình vi phân cho điện trường:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐄$

Có thể thực hiện các biến đổi tương tự như trên để thu được phương trình vi phân với từ trường:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐁$.

Hai phương trình vi phân trên chính là các phương trình sóng, dạng tổng quát:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$

với c₀ là tốc độ lan truyền của sóng và f miêu tả cường độ dao động của sóng theo thời gian và vị trí trong không gian. Trong trường hợp của các phương trình sóng liên quan đến điện trường và từ trường nêu trên, ta thấy nghiệm của phương trình thể hiện điện trường và từ trường sẽ biến đổi trong không gian và thời gian như những sóng, với tốc độ:

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$

Đây chính là tốc độ ánh sáng trong chân không.

Nghiệm của phương trình sóng cho điện trường là:

$𝐄={𝐄}_{0}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)$

Với

E₀ là một hằng số véc tơ đóng vai trò như biên độ của dao động điện trường,

f là hàm khả vi bậc hai bất kỳ

$\widehat{𝐤}$ là véc tơ đơn vị theo phương lan truyền của sóng

x là tọa độ của điểm đang xét.

Tuy nghiệm này thỏa mãn phương trình sóng, để thỏa mãn tất cả các phương trình Maxwell, cần có thêm ràng buộc:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\widehat{𝐤}\cdot {𝐄}_0{f}^{\prime }(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)=0$

$𝐄\cdot \widehat{𝐤}=0(8)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=\widehat{𝐤}\times {𝐄}_0{f}^{\prime }(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_{0}t)=-\frac{\partial }{\partial t}𝐁$

$𝐁=\frac{1}{c_0}\widehat{𝐤}\times 𝐄(9)$

(8) suy ra điện trường phải luôn vuông góc với hướng lan truyền của sóng

(9) cho thấy từ trường thì vuông góc với cả điện trường và hướng lan truyền; đồng thời E₀ = c₀ B₀. Nghiệm này của phương trình Maxwell chính là sóng điện từ phẳng.

Trong môi trường vật chất

Dao động điện từ được Maxwell biểu diển dưới dạng 4 phương trình vector đạo hàm của 2 trường Điện trường, E và Từ trường, B

Phương trình dao động sóng điện từ dưới dạng vector vo hướng

$\mathrm{\nabla }\cdot E=0$
$\mathrm{\nabla }\times E=\frac{1}{T}E$
$\mathrm{\nabla }\cdot B=0$
$\mathrm{\nabla }\times B=\frac{1}{T}B$
$T=\mu ϵ$

Dùng phép toán

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\times E)=\mathrm{\nabla }(-\frac{1}{T}E)$

$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\times B)=\mathrm{\nabla }(-\frac{1}{T}B)$

Cho một Phương trình sóng điện từ

${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-\omega E$

${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-\omega B$

Nghiệm của Phương trình sóng điện từ trên cho Hàm số sóng điện từ

$E=ASin\omega t$

$B=ASin\omega t$

$\omega =\lambda f=\sqrt{\frac{1}{T}}=C$

$T=\mu ϵ$