Sách toán kỹ sư

Ký số

Ký số
Ký số La Mã	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Ký số Ả rập	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ký số Trung quốc	-	=
Giá trị	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Số đại số

Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.

Loai số đại số

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số đại số	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
/Số tự nhiên/		$N$	$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
/Số chẳn/	Mọi số chia hết cho 2	$2n$	$2,4,6,$
/Số lẻ/	Mọi số không chia hết cho 2	$2n+1$	$1,3,5,7,9$
/Số nguyên tố/	Mọi số chia hết cho 1 và cho chính nó	$p$	$1,3,5,7$
/Số lũy thừa/	$a^n=a\times a\times a...\times a$	$a^n$	$2^3=2\times 2\times 2=8$
/Số căn/	$n\sqrt{a}$ khi có $a^{\frac{1}{n}}$	$n\sqrt{a}$	$a^{\frac{1}{n}}$
/Số log/	$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$	$Lo{g}_{a}b$	$Lo{g}_{10}100=2$
/Số nguyên/	$I=+I,-I,0$	$I$	$+1,-1,0$
/Phân số/	Số có dạng một số trên một số khác	$\frac{a}{b}$	$\frac{1}{2}$
/Số thập phân/		$0.abcd$	$0.5$
/Số hửu tỉ/
/Số vô tỉ/
/Số phức/	$Z=a\pm jb$	$Z$	$2\pm j3$
/Số thực/	$a$	$a$	$2$
/Số ảo/	$j/i=\sqrt{-1}$	$i,j$	$\pm j3$
/Hằng số/	Số đại số có giá trị không đổi	$c$	$\pi ,e$

Phép toán số đại số

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
/Toán cộng/	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
/Toán trừ/	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
/Toán nhân/	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
/Toán chia/	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
/Toán lũy thừa/	$a^n$	$a^n=a\times a\times a...$	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
/Toán căn/	$\sqrt{}$	$\sqrt{a}=b$ nếu có $b^n=a$	Toán lủy thừa nghịch
/Toán log/	$Log,Ln$	$Lo{g}_{10}a=b$ Nếu có $10^b=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Phép toán Số nguyên

Số nguyên $I=I<0,I=0,I>0$

Toán Số nguyên	Công thức
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^2$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^2$ $\frac{a}{a}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a...\times a$ $(-a{)}^n=a^n$ . $n=2m$$(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	$\sqrt{0}=0$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{(-1)}=j$

Phép toán Lũy thừa

$a^n=a\times a\times a\times a...\times a$

Toán lủy thừa	Công thức
Lủy thừa không	$a^0=1$
Lủy thừa 1	$a^1=a$
Lủy thừa của số không	$0^n$
Lủy thừa của số 1	$1^n=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac{m}{n}}=n\sqrt{a^m}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$. $(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a{)}^n=a^n$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab{)}^m=a^m\times b^m$
Lủy thừa của thương hai số	$(\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{a^n}$
Lủy thừa của căn	$(\sqrt{a^n}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^m+a^n=a^m(1+a^{n-m})$ $a^m-a^n=a^m(1-a^{n-m})$ $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)}}$ $(a+b{)}^n=a^n+C_{n-1}{a}^{n-1}b+...+C_{1}a{b}^{n-1}+b^n$ $(a+b{)}^0=1$ $(a+b{)}^1=a+b$ $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+2ab+b^2$ $(a+b{)}^3=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)}}$ $(a-b{)}^0=1$ $(a-b{)}^1=a+b$ $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)=a^2-2ab+b^2$ $(a-b{)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^2-b^2=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

Phép toán Toán căn

$n\sqrt{a}=b$ khi có $a=b^n$

Toán căn số	Công thức
Căn và lủy thừa	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$
Căn của số nguyên	$\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$
Căn lủy thừa	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$
Căn thương số	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Căn tích số	$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$
Vô căn	$a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$
Ra căn	$\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$

Phép toán Toán log

$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$

Toán Log	Công thức
Viết tắc	$Log=Lo{g}_{10}$ $Ln=Lo{g}_2$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Lo{g}_n(A{)}^n=A$
Lũy thừa log	$B^{Lo{g}_B(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log(\frac{A}{B})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^n)=nLogA$
Đổi nền log	$Lo{g}_{a}x=\frac{Logx}{Loga}$

Phép toán Toán số phức

Số phức được biểu diển như ở dưới đây

Số phức	Thuận $Z$	Nghịch $Z^{*}$
Biểu diển dưới dạng xy	$Z=x+jy$	$Z=x-jy$
Biểu diển dưới dạng Zθ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }-ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác	$Z=z(cos\theta +jsin\theta )$	$Z=z(cos\theta -jsin\theta )$
Biểu diển dưới lũy thừa của e	$Z=z{e}^{j\theta }$	$Z=z{e}^{-j\theta }$

Toán số phức được thực thi như sau

Toán Số phức	Toán cộng	Toán trừ	Toán nhân	Toán chia
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$Z=z{e}^{j\theta }$ và $Z=z{e}^{-j\theta }$	$z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$	$z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$	$z^2$	$e^{j2\theta }$

Định lý Demoive

$(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$

Dải số đại số

Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên	$1,2,3,4,5,....,n$
Dải số của các số tự nhiên chẳn	$2,4,6,8,10,...,2n$
Dải số của các số tự nhiên lẻ	$1,3,5,7,...,2n+1$

Tổng dải số đại số

Chuổi sô	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Chuổi số	phép toán tìm tổng của một dải số	$S=\sum$	$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n=1+2+3+...+n=k(1+n)$

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+...+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Tổng dải số Fourier

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Biểu thức đại số

Biểu thức	Đơn thức	Đa thức	Đẳng thức	Bất đẳng thức
$2x$, $5xyz$	$2x+5y$, $5xy-2y$	$2x=5y$, $5xy=2y$	$2x$ > $5y$, $5xy$ < $2y$

Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức	Công thức
Bình phương tổng 2 số đại số	$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
Bình phương hiệu 2 số đại số	$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
Tổng 2 bình phương	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ $a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab$
Hiệu 2 bình phương	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Tổng 2 lập phương	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Hiệu 2 lập phương	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Hàm số đại số

Tính chất

Hàm số	Công thức
Hàm số có dạng tổng quát	$f(x,y,z,...)$
Giá trị hàm số	$f(x,y,z,...)=C$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn even function	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ odd function	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo inverse function	$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$si{n}^{-1}x=\frac{1}{sinx}$
Hàm số trong hàm số composite function	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số parametric function	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] recursive function

Phép toán hàm số

Đồ thị hàm số

Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)

x	-2	-1	0	1	2	Hình
F(x)=x	-2	-1	0	1	2	100px

Đồ thị hàm số	Thẳng	Cong	Tròn	Lũy thừa	Log	Lượng giác
	Đồ thị Hàm số đường thẳng 150px	Đồ thị Hàm số đường cong 150px	Đồ thị Hàm số vòng tròn	Đồ thị Hàm số lũy thừa 200px	Đồ thị hàm số Log [[Tập tin:Logarithm plots.png|200px|Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, Template:Mvar và 10]]	Đồ thị hàm số lượng giác $\cos x$ $\sin x$ $\tan x$ $\cot x$ $\sec x$ $\csc x$

x

Công thức toán

Danh sách các hàm số	Ý nghỉa	Công thức
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ	$Y=ZX$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số vòng tròn Z đơn vị		$Z^2=X^2+Y^2$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị		${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$
Hàm số lượng giác		$cos\theta =\frac{X}{Z}$ $sin\theta =\frac{Y}{Z}$ $sec\theta =\frac{1}{X}$ $csc\theta =\frac{1}{Y}$ $tan\theta =\frac{Y}{X}$ $cot\theta =\frac{X}{Y}$
Hàm số lũy thừa Power function		$y=a{x}^n$
Hàm số Lô ga rít		$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function		$y(x)=a{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0{x}^0$
Hàm số chia/]] Rational function		$Q(x)=\frac{N(x)}{M(x)}-R(x)$

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số Maclaurin

Dải số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+...=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+...$

Chứng minh

Khi x=0 $f(0)=a_0$ Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0 $f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$ $f^{\text{'}}(0)=a_1$ Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0 $f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$ $f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$ $a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$ Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0 $f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$ $f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$ $a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$ Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được $f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Toán giải tích - Phép toán hàm số

Với đường thẳng nghiêng đi qua 2 điểm (xo,yo) - (x,y) dưới đây

Ta có thể tính các loại toán sau

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số cho biết tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x có thể biểu diển bằng công thức toán dưới đây

$a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y-y_o}{x-x_o}$

$a=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Với

$\mathrm{\Delta }x=x-x_o=(x+\mathrm{\Delta }x)-x$ - Thay đổi biến số x

$\mathrm{\Delta }y=y-y_o=\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ - Thay đổi biến số y

Diện tích dưới hình

$s=\mathrm{\Delta }xy+\mathrm{\Delta }x\frac{\mathrm{\Delta }y}{2}=\mathrm{\Delta }x[y+\frac{\mathrm{\Delta }y}{2}]=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]$

$s=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]=\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}[2f(x)+f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]=\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}[f(x)+f(x+\mathrm{\Delta }x)]$

Với mọi đường cong bên dưới

150px

Ta có thể tính các loại toán sau

Đạo hàm hàm số đường cong

150px|Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến b

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Tích phân xác định đường cong

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định đường cong

$\int f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=F(x)+C$

Phương trình đại số

Dạng tổng quát

Phương trình có dạng tổng quát

$f(x,y,z,...)=0$

Loại phương trình

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ :$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ v$x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s^n=-\frac{b}{a}$ $s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$ $f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2 200px
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+\frac{b}{a}sf(x)+\frac{c}{a}f(x)=0$ $s^2+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=A{e}^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha =\frac{b}{2a}$ . $\beta =\frac{c}{a}$ . $\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$ . $\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s=-\frac{b}{a}$ $f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$

Điểm

	Ký hiệu	Thí dụ
Điểm	•	Điểm A A •

Đường thẳng

Định nghỉa

Hình học Eucleur

Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm tạo từ nhiều đoạn thẳng

$AB=A-----------B$
$AB=A--C--D--E--B=AC+CD+DE+EB$

Tọa độ điểm đại số

Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm (xo,yo) - (x,y)

Có độ dóc tính bằng

$a=\frac{y-y_o}{x-x_o}$

Có thể biểu diển bằng hàm số toán đại số dưới đây

$y=y_o+a(x-x_o)=ax+b$

Dạng đường thẳng

| Đường thẳng vuông góc ||

|Đường thẳng song song ||

Vector đường thẳng

Tính chất

Mọi vector đường thẳng đều có thể biểu diển

$\overrightarrow{A}=A\overrightarrow{a}$ = (Độ dài) (vector 1 đơn vị)

Với

$\overrightarrow{A}=A\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{A}}{A}$

$A=\frac{\overrightarrow{A}}{\overrightarrow{a}}$

Toán vector

Cộng 2 vector
Hiệu 2 vector
Tích 2 vector
Thương 2 vector

Góc

Định nghỉa

Góc	Định nghỉa	Ký hiệu	Đơn vị	Thí dụ
	Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng	$\mathrm{\angle }$	$1rad=\frac{180^o}{\pi }$ $1^o=\frac{\pi }{180^o}$	$\mathrm{\angle }A=30^0=\frac{\pi }{6}rad$

Thể loại góc

Góc	Hình	Định nghỉa
Góc nhọn	200px	Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông	100px	Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù	200px	Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt	200px	Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản	200px	Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy	200px	Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hình tam giác

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin|right

• 3 điểm . $A,B,C$
• 3 cạnh . $AB,BC,CA$
• 3 góc . $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$

Chu vi Diện tích Thể tích

	Chu vi	Diện tích	Thể tích
	$a+b+c$	$\frac{ba}{2}$	$ab\frac{h}{2}$

Tam giác thường

Định lý Sin

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$

Định lý Cosin

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng $90^o$

c - Cạnh huyền

a - Cạnh đối

b - Cạnh kề

• Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90^o
• $\mathrm{\angle }C=90^o$
• $\overline{AC}\perp \overline{CB}$

Định lý tam giác vuông

• Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông
• Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
• Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo)
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
• Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông
• Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông.

Định lý Pytago

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình

$a^2+b^2=c^2$

Trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.

Hàm số lượng giác

Tương quan các cạnh và góc

Hàm số góc lượng giác	Tỉ lệ cạnh	Đồ thị
Cosine	$\frac{X}{Z}=\cos \theta$	100px
Sine	$\frac{Y}{Z}=\sin \theta$	100px
Cosine	$\frac{1}{X}=\sec \theta$
Cosecant	$\frac{1}{Y}=\csc \theta$	100px
Tangent	$\frac{Y}{X}=\tan \theta$	100px
Cotangent	$\frac{X}{Y}=\cot \theta$	100px

Tam giác vuông trên đồ thị XY

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang	$X=\frac{Y}{Z}$	$x-x_o$	$\mathrm{\Delta }x$	$Z\cos \theta$
Độ dài cạnh dọc	$Y=ZX$	$y-y_o$	$\mathrm{\Delta }y$	$Z\sin \theta$
Độ dóc	$Z=\frac{Y}{X}$	$\frac{y-y_o}{x-x_o}$	$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$	$Tan\theta$
Độ nghiêng	$\theta ={\tan }^{-1}Z$	$\theta ={\tan }^{-1}\frac{Y}{X}$

Vector đương thẳng ngang	$\overrightarrow{X}=x\overrightarrow{i}$	$(x-x_o)\overrightarrow{i}$	$Z\cos \theta \overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	$\overrightarrow{Y}=y\overrightarrow{i}$	$(y-y_o)\overrightarrow{i}$	$Z\sin \theta \overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=z\overrightarrow{k}$	$(z-z_o)\overrightarrow{k}$

Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z	$Y=ZX$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }Ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$
Diện tích dưới hình	$s=X(y_o+\frac{Y}{2})=X(y_o+\frac{ZX}{2})=X(y-\frac{ZX}{2})=\frac{y^2-y_o^2}{2Z}$

Hàm số lượng giác cơ bản

Định nghỉa

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tỉ lệ các cạnh trong tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Tính chất

Tuần hoàn

$\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$

$\sin (-x)=-\sin (x)$

$\sin (x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

Đối xứng

$\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$

$\cos (-x)=\cos (x)$

$\cos (x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$

Tịnh tiến

$\tan (x)=\tan (x+k\pi )$

$\tan (-x)=-\tan (x)$

$\tan (x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$

$\cot (-x)=-\cot (x)$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

với

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a\ge 0;\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a<0.\end{array}$

Góc bội

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

công thức de Moivre:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)$

$=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin (nx)=2\sin ((n-1)x)\cos (x)-\sin ((n-2)x)$

$\cos (nx)=2\cos ((n-1)x)\cos (x)-\cos ((n-2)x)$=

Góc chia đôi

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Nếu

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

thì:

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

and

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

and

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Tổng 2 góc

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

Hiệu 2 góc

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

Tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Lũy thừa góc

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^{2}2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{4}$

${\sin }^3(x)=\frac{2\sin 2(x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Hàm số lượng đường thẳng

Hàm số lượng đường thẳng nghiêng

$Z=z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$

Hàm số lượng đường thẳng dọc

$Y=y\mathrm{\angle }90$

Hàm số lượng đường thẳng ngang

$X=x\mathrm{\angle }0$

Hàm số lượng đường tròn

Hàm số lượng đường tròn Z đơn vị

$R=\theta$

$Z^2=X^2+Y^2$

Hàm số lượng đường tròn 1 đơn vị

$1=(\frac{X}{Z}{)}^2+(\frac{Y}{Z}{)}^2=co{s}^{2}x+si{n}^{2}x=se{c}^{2}x-ta{n}^{2}x=cs{c}^{2}x-co{t}^{2}x$