Proporcionalitat III

Breu recordatori sobre proporcionalitat de primer i segon d'ESO.

Proporcionalitat directa

Una regla de tres determina i és sempre una proporcionalitat directa, veiem exemples:

1) Completa la taula següent que relaciona el preu amb les unitats comprades.

Euros $\stackrel{}{\to }$ Caixes 5 € $⟼$ 2 10 € $⟼$ x y $⟼$ 8 z $⟼$ 10

2) Completa la taula següent que relaciona el preu amb els metres de fil comprats.

Euros $\stackrel{}{\to }$ Metres 2 € $⟼$ 30 m 7 € $⟼$ x y $⟼$ 300 m z $⟼$ 1000 m

3) Completa la taula següent que compara el nombre d'obrers amb la quantitat de rajoles reparades en un sol dia.

Obrers $\stackrel{}{\to }$ Rajoles 3 o $⟼$ 33 r 8 o $⟼$ x y $⟼$ 400 r z $⟼$ 500 r

Regla de tres i l'àlgebra

Una regla de tres té associada una expressió algèbrica fàcil de resoldre, veiem aquest paral·lelisme:

Suposem que amb 2 € comprem 5 plàtans, llavor tenim:

Esquema de regla de tres Euros $\stackrel{}{\to }$ Platans 2 € $⟼$ 5 x € $⟼$ 7 0 € $⟼$ 0 40 € $⟼$ 100

Visió algèbrica $\frac{2}{x}=\frac{5}{7}$

Resolució $x=\frac{2\cdot 7}{5}$

Amb aquesta equivalència clarament podem fer el següent canvi per aïllar ràpidament la x i veure que és exactament la mateixa operació que amb regla de tres:

Euros $\stackrel{}{\to }$ Platans x € $⟼$ 7 2 € $⟼$ 5

$\frac{x}{2}=\frac{7}{5}$

$x=2\cdot \frac{7}{5}=$ $\frac{2\cdot 7}{5}$

S'observa que:

• Per resoldre l'equació $\frac{x}{2}=\frac{7}{5}$ només cal canviar de costat de la igualtat el 2 que divideix que passa la igualtat a multiplicar els $\frac{7}{5}.$

• La resolució per regla de tres és exactament la mateixa que la resolució algèbrica.

• L'equació equivalent per evitar divisions per zero és $x\cdot 5=2\cdot 7$ que surt de multiplicar en creu.

Representació

Exemples de representació i observacions típiques.

1) Comparem el nombre de treballadors i els diners gastats.

Suposem que un empresari paga als seus treballadors 1000 €.

taula+gràfic

2) Comparem els diners al banc i els interessos a 10 anys idealment.

Suposem que els interessos són del 20%:

taula+gràfic

Proporcionalitat inversa

Diem que la proporcionalitat inversa necessita un concepte o una dada fixada per determinar-la.

1) Suposem que es vol construir un únic mur de 10 metres de llarg i sabem que 2 operaris el farien en 5 hores, per tant.

Taula Operaris $\stackrel{}{\to }$ Temps 2 o $⟼$ 5 h 1 o $⟼$ 10 h 0 o $⟼$ Impossible 5 o $⟼$ 2 h 10 o $⟼$ 1 h

gràfic

2) Suposem que la distància de casa a la feina siguin 20 kilòmetres i volem comparar la velocitat i el temps utilitzat.

Taula Velocitat $\stackrel{}{\to }$ Temps 2 km/h $⟼$ 10 h 1 km/h $⟼$ 20 h 0 km/h $⟼$ Impossible 5 km/h $⟼$ 4 h 10 km/h $⟼$ 2 h

gràfic