Potències amb exponents enters

Petita secció amb fórmules definicions i propietats purament.

Si teniu curiositat per veure una introducció rigorosa amb demostracions, podeu consultar les demostracions de cada una de les fórmules, en la direcció de wikipedia anomenada potenciació.

Definició bàsica

$a\cdot \frac{1}{b}=\frac{1}{b}\cdot a=\frac{a}{b}$

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

$\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \cancel{c}}{\cancel{c}\cdot d}=\frac{a}{d}$

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

Definició de potència amb nombres naturals com a exponent:

$\begin{array}{cc}{a}^1=& a\\ a^2=& a\cdot a\\ ⋮& \\ a^n=& a\cdot ...\cdot a\\ ⋮& \end{array}$

Conseqüències

Propietats

$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$	${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$
${(a\cdot b)}^n=a^n\cdot b^n$	$(-a{)}^n=\{\begin{array}{cc}{a}^n& \text{ si n parell }\\ -a^n& \text{ si n imparell }\end{array}$

Notació per a exponents amb valors enters:

$\begin{array}{cc}{a}^{-1}=& \frac{1}{a}\end{array}$

Propietats

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$	$a^n=\frac{1}{a^{-n}}$
${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$	$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}=\frac{1}{a^{m-n}}$
$a^0=1\text{només si}a\ne 0$

Exemples

1) Calcula el resultat de les potències següents:
a) $1^{27483}=$	$\underset{1apareix24483vegades}{\underbrace{1\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1}}$ $=1$
b) $0^{1000}=$	$\underset{0apareix24483vegades}{\underbrace{0\cdot 0\cdot 0\cdot ...\cdot 0}}$ $=0$
c) $31401^1=$	$31401$ ja que l'u vol dir que apareix una vegada, per tant és el mateix nombre.
d) $73000000^0=$	$1,$ de fet com $\frac{a^n}{a^n}=1$ sempre que $a^n$ no sigui zero, llavors tenim la conseqüència següent: $1=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0\Rightarrow$ $1=a^0$
e) $(-1{)}^{30}=$	1, perquè 30 és parell i, per tant, el signe menys s'anul·la i queda $1^{31}$ que és 1.
f) $(-1{)}^{31}=$	-1, perquè 30 és imparell i, per tant, el signe menys sobreviu i queda $-(1^{31})=-1.$
g) $-1^{30}=$	-1, en aquest cas l'exponent no pot afectar el signe perquè està fora, equival a escriure $-\left(1^{30}\right)=-1.$
h) $-1^{31}=$	-1, en aquest cas l'exponent no pot afectar el signe perquè està fora, equival a escriure $-\left(1^{31}\right)=-1.$

1) Expressa com a una sola potència
a) $3^7\cdot 5^7=$	$(3\cdot 5{)}^7.$
b) $2^{15}\cdot 3^{15}\cdot 7^{15}=$	$(2\cdot 3\cdot 7{)}^{15}.$
c) $320^{10}\cdot 2^4\cdot 5^{54}=$	$(2^6\cdot 5{)}^{10}\cdot 2^4\cdot 5^{54}=$ $(2^6{)}^{10}\cdot 5^{10}\cdot 2^4\cdot 5^{54}=$ $2^{60}\cdot 5^{64}\cdot 2^4=$ $2^{64}\cdot 5^{64}=$ $(2\cdot 5{)}^{64}=$ $10^{64}.$
d) $3^7\cdot 3^8\cdot 3^0\cdot 5^0=$	$3^{7+8+0+0}=$ $3^{15}.$

2) Expressa com a producte i divisió de potències positives de nombres primers:

a) $(28\cdot 5{)}^{10}=$

b) $(8\cdot 10{)}^8=$

c) ${\left(\frac{50}{5^2}\right)}^7=$

d) ${\left(\frac{2^{-3}\cdot 3^{-2}\cdot 5^2}{2^8\cdot 3^{-10}\cdot 5^{-3}}\right)}^3=$

Exercicis:

1) $(2\cdot 3{)}^2=$	2) ${\left(\frac{15}{3}\right)}^3=$
3*) $\frac{1}{2^2}\cdot 2^5=$	4) ${\left(\frac{2\cdot 5}{5}\right)}^{10}=$
5) $\frac{1}{5^{-3}}=$	6) $\frac{5^{20}}{5^{10}}=$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO