Phương trình bậc hai

Dạng tổng quát

a x^{2} + b x + c = 0

Từ trên, chia phương trình bậc hai cho a (điều này được phép do a khác 0), ta có:

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

nó tương đương với

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .

thêm bình phương của $\frac{b}{2 a}$ vào cả hai vế của phương trình, ta được

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}

.

Vế trái bây giờ là một bình phương đúng của x + b/(2a)). Vế phải có thể viết dưới dạng một phân số với mẫu số chung là 4a². Ta thu được

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

.

Lấy căn bậc hai của hai vế, sẽ có

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

.

Bớt $\frac{b}{2 a}$ từ cả hai vế, ta có

x = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

x = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .