Obyčajné differenciálne rovnice/Závislosť riešenia od začiatočných hodnôt

závislosť skr Uvod2 od počiatočných hodnôt

Teraz uvažujeme dve Uvod4n, ktoré sa líšia len počiatočnými hodnotami skn, $$\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }=f(t,y),& & y^{\prime }=f(t,y),\\ y(t_0)=y_0,& & y(t_0)=z_0.\end{array}$$

Nech funkcia $f$ je Lipschitzovo spojitá na skr pravej strane. Príslušnésk Uvod2s týchto dvoch úloh ako funkcie skn počiatočných hodnôt označíme ako $y(t;y_0),z(t;z_0)$. Teraz odhadneme ${ℝ}^m$ normu , $m\ge 1$, sks rozdielsks týchto dvoch Uvod2s pomocou rovnice skr (2. 1), skr trojuholníkovej nerovnosti skr normy, skr Lipschitzovej spojitosti $f$ a skr lemy 2.1, $$\begin{array}{ccc}\Vert y(t;y_0)-z(t;z_0){\Vert }_{{ℝ}^m}& =& {\Vert y_0+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))ds-z_0-\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,z(s))ds\Vert }_{{ℝ}^m}\\ & \le & \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}+{\Vert \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))ds-\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,z(s))ds\Vert }_{{ℝ}^m}\\ & \le & \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\Vert y(s)-z(s){\Vert }_{{ℝ}^m}ds.\end{array}$$

Ni použijeme nasledujúcu lema

---

''Lema 2.2 (Gronwall)

' Sei $\varphi :I\to ℝ$ je stabilné a es gélte pre jesks $\alpha ,\beta \ge 0$, dass $$0\le \varphi (t)\le \alpha +\beta \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\varphi (s)ds\mathrm{\forall }t\ge 0.$$ Dán je $$\varphi (t)\le \alpha e^{\beta (t-t_0)}\mathrm{\forall }t\in I.$$

---

Dôkaz.

Dôkaz skn pozri L. Grüne, O. Junge, Gewöhnliche sk5. Zovšeobecnenie možno nájsť napríklad v L. C. Evans, Partial Differential Equations, Appendix B.j, B.k. ◻

Teraz označíme $\varphi (s):=\Vert y(s)-z(s){\Vert }_{{ℝ}^m}$, $\alpha :=\Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}$ a $\beta :=L$ vo vyššie uvedenom odhade. Aplikáciou Gronwallovej lemy sk nakoniec získame odhad $$\Vert y(t;y_0)-z(t;z_0){\Vert }_{{ℝ}^m}\le \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}{e}^{L(t-t_0)}\le \Vert y_0-z_0{\Vert }_{{ℝ}^m}{e}^{L(T-t_0)}.$$

Tento odhad sa nazýva aj spojitá závislosť skr Uvod2 od počiatočných údajov skn a jednota nasleduje pre $y_0=z_0.$