Obyčajné differenciálne rovnice/Podmienky pre rád Runge-Kutta metód

Poriadkové podmienky pre Runge-Kutta metódy

Doteraz sme vždy predpokladali, že $c_1=0$ pre explicitné Runge-Kutta metódy. Táto podmienka nie je zvolená ľubovoľne, ale vyplýva z určitej požiadavky na medzistupne $k_j$. Ako uvidíme v nasledujúcom odseku, takáto požiadavka zabezpečuje presnosť RKV pre lineárne funkcie $y(t)$. To znamená, že numerické riešenie RKV $y^{\prime }=const$, ktoré sa nachádza v bodoch mriežky, nie je ovplyvnené žiadnymi diskretizujúcimi chybami. Je teda presne rovnaké ako analytické riešenie.

S ohľadom na poriadok konzistencie stanovíme ďalšie (nelineárne) sústavy rovníc pre Rungeho-Kuttove koeficienty (pozri (4.4)), tzv. poriadkové podmienky. Poriadkové podmienky sú tiež formulované v maticovom tvare pomocou matice $A$ a vektorov $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ všeobecne a bez rozlišovania explicitných a implicitných RCO.

Na tento účel analyzujeme jednoduchý AWA $\begin{array}{c}{y}^{\prime }(t)=1\\ y(t_0)=y_0\end{array}(4.5)$

s analytickým riešením ako lineárnou funkciou $y(t)=t+y_0-t_0$.

Na RKV kladieme tieto požiadavky:

(A) Ev RKV poskytuje presné výsledky pre lineárne riešenia $y(t)$.

Keďže v bode (4.5) pre $k_i=f(t+c_{j}h,y+\dots )=1$ to znamená, že v prípade diferenciálnej rovnice ($m=1$) po vložení lineárnej funkcie $y(t)$: $\begin{array}{cc}0& \stackrel{!}{=}|\epsilon (t,h)|=|h\tau (t,h)|=|y(t+h)-y(t)-h\varphi (t,y,h,f)|\\ & =|t+h-y_0-t_0-(t-y_0-t_0)-h\sum _{j=1}^s{b}_j{k}_j|=|h-h\sum _{j=1}^s{b}_{j}1|=h|1-\sum _{j=1}^s{b}_j|.\end{array}$

Prvá podmienka na Runge-Kutta koeficienty teda vyplýva z podmienky '(A) pre lineárne riešenia: $\sum _{j=1}^s{b}_j=1.(4.6)$

Tu upozorňujeme, že táto podmienka bola odvodená z požiadavky konzistencie v prípade všeobecnej úlohy s počiatočnou hodnotou, ktorá bola demonštrovaná v príklade 4.2 pomocou Taylorovho rozšírenia. Preto je pre RKV podmienka konzistencie ekvivalentná exaktnosti pre lineárne funkcie.

(B) Požiadavky na medzistupne $k_j$ der RKV:

Ako sme spomenuli na začiatku tejto kapitoly, $k_j$ aproximujú derivácie hľadanej funkcie v bodoch vzorkovania, $k_j\approx y^{\prime }(t_i+h{c}_j)$ Teraz sa od lineárnych funkcií vyžaduje, aby nielen aproximovali derivácie $y$ na medzistupňoch $t+c_{j}h$, ale aby s nimi aj súhlasili, t. j. aby $k_j=f(t+c_{j}h,y(t)+h\sum _{m=1}^s{a}_{jm}{k}_m)\stackrel{!}{=}{y}^{\prime }(t+c_{j}h)$

platí. Pretože $y^{\prime }=f(t,y)$, dostaneme z tejto podmienky $f(t+c_{j}h,y(t)+h\sum _{m=1}^s{a}_{jm}{k}_m)\stackrel{!}{=}f(t+c_{j}h,y(t+c_{j}h)),$

a po porovnaní (druhých) argumentov funkcie $f$, lineárne riešenie $y(t)=t+y_0-t_0$ $y(t)+h\sum _{m=1}^s{a}_{jm}{k}_m\stackrel{!}{=}y(t+c_{j}h)=t+c_{j}h+y_0-t_0.$

Po dosadení lineárnej funkcie na ľavú stranu a použití $k_m=1$ (1.6) dostaneme druhú podmienku uloženú na Runge-Kutta koeficienty: $\sum _{m=1}^s{a}_{jm}{k}_m=c_j.(4.7)$

Táto podmienka zaručuje, že derivácie lineárnej funkcie sú vypočítané presne aj v medziľahlých bodoch.

Poznámka 4.3

V príklade 4.2 sme videli, že táto podmienka ($a_{21}=c_2$) je automaticky splnená pre dvojstupňovú explicitnú RKV, aby bolo možné dosiahnuť druhý stupeň konzistencie. Preto sa (4.7) považuje za rozumnú podmienku pre Runge-Kutta koeficienty a predpokladá sa v ďalšom texte. To znamená, že všetky nami analyzované RKV poskytujú presné výsledky pre lineárne funkcie. Podmienka (4.7) znamená, že súčet $j$-tého riadku matice $A$ Butcherovej tabuľky dáva $j$-tý zápis vektora $\overrightarrow{c}$. Pri explicitnom RKV z tejto podmienky vyplýva, že $c_1=0$, pretože prvý riadok matice $A$ je nulový riadok.

Podmienky (4.6), (4.7), ktoré vyplývajú z požiadaviek (A), (B), sú podmienkami pre konzistentnú RKV prvého rádu. Ak označíme $\mathrm{𝟏}=(1,\dots ,1{)}^T$, podmienky poradia pre RKV vyššieho rádu môžeme reprezentovať v nasledujúcom maticovo-vektorovom tvare: ${\overrightarrow{b}}^T\mathrm{𝟏}=1,A\mathrm{𝟏}=\overrightarrow{c}.$

Aby sme to mohli urobiť, musíme úlohu počiatočnej hodnoty (1.6) previesť na jej autonómnu formu $m+1$ diferenciálnych rovníc,

$\begin{array}{c}Y:={\left(\begin{array}{c}t\\ y(t)\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ f(t,y(t))\end{array}\right)=:f(Y),\text{s počiatočnou podmienkou}{Y}_0:=\left(\begin{array}{c}{t}_0\\ y_0\end{array}\right).\end{array}$

a musí sa vykonať viacrozmerná analýza Taylorovým rozšírením. Tento postup je podrobnejšie vysvetlený v [1].

V nasledujúcom prehľade uvádzame podmienky poradia až do štvrtého rádu konzistencie. Podmienky pre konkrétny rád konzistencie vyplývajú z podmienok pre predchádzajúci rád pridaním (znak $⨁$) ďalších podmienok.

1. poradie:	${\overrightarrow{b}}^T\mathrm{𝟏}=1,A\mathrm{𝟏}=\overrightarrow{c}$
2. poradie:	$⨁$ ${\overrightarrow{b}}^{T}A\mathrm{𝟏}={\overrightarrow{b}}^T\overrightarrow{c}=\sum _{j=1}^s{b}_j{c}_j=\frac{1}{2}$
3. poradie:	$\begin{array}{c}⨁{\overrightarrow{b}}^T{A}^2\mathrm{𝟏}={\overrightarrow{b}}^{T}A\overrightarrow{c}=\sum _{j=1}^s{b}_j{a}_{jk}{c}_k=\frac{1}{6}\\ \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\overrightarrow{b}}^T(A\mathrm{𝟏}{)}^2={\overrightarrow{b}}^T(\overrightarrow{c}{)}^2=\sum _{j=1}^s{b}_j{c}_j^2=\frac{1}{3}\end{array}$
4. poradie:	$\begin{array}{c}⨁{\overrightarrow{b}}^T[(A\mathrm{𝟏})(A{}^2\mathrm{𝟏})]={\overrightarrow{b}}^T[(\overrightarrow{c})(A\overrightarrow{c})]=\frac{1}{8}\\ \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\overrightarrow{b}}^T(A\mathrm{𝟏}{)}^3={\overrightarrow{b}}^T(\overrightarrow{c}{)}^3=\frac{1}{4}\\ \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\overrightarrow{b}}^{T}A(A\mathrm{𝟏}{)}^2={\overrightarrow{b}}^{T}A(\overrightarrow{c}{)}^2=\frac{1}{12}\\ \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\overrightarrow{b}}^T{A}^3\mathrm{𝟏}={\overrightarrow{b}}^T{A}^2\overrightarrow{c}=\frac{1}{24}\end{array}$

$(\star )$

Pre $r\in \mathbb{N}$ pre mocniny alebo súčiny vektorov tu bol použitý nasledujúci výraz:

$(\overrightarrow{v}{)}^r:=\left(\begin{array}{c}{v}_1^r\\ ⋮\\ v_s^r\end{array}\right)$ und $(\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}):=\left(\begin{array}{c}{v}_1{u}_1\\ ⋮\\ v_s{u}_s\end{array}\right)$

Podmienky usporiadania $(\star )$ platia pre všeobecnú RKV s $s$ úrovňami (implicitnými alebo explicitnými). V nasledujúcom texte sa obmedzíme na explicitné RKV. V odvodení koeficientov eRKV tretieho rádu je potrebných päť (nelineárnych) rovníc podľa vyššie uvedených rádových podmienok (porovnaj (4.4) odstránená). Pomocou explicitnej metódy štvrtého rádu sa získa osem rovníc. Ak je matica $A$ dolnou trojuholníkovou maticou a $s=4$ sa použije v podmienkach rádu, nasledujúca sústava rovníc pre koeficienty explicitnej RKV so 4 úrovňami $\begin{array}{ccc}{b}_1+b_2+b_3+b_4& =& 1\}\text{Konzistencia 1. rádu},\\ c_2{b}_2+c_3{b}_3+c_4{b}_4& =& \frac{1}{2}\}\text{ 2. rádu,}\\ & & \begin{array}{cc}{c}_2^2{b}_2+c_3^2{b}_3\mathrm{\&}=& 1/3\\ b_3{c}_2{a}_{32}+b_4{c}_2{a}_{42}+b_4{c}_3{a}_{43}& =& 1/6\end{array}\}\text{ 3. rádu,}\\ & & \begin{array}{cc}{c}_2^3{b}_2+c_3^3{b}_3+c_4^3{b}_4\mathrm{\&}=& 1/4\\ b_3{c}_3{c}_2{a}_{32}+b_4{c}_4{c}_2{a}_{42}+b_4{c}_4{c}_3{a}_{43}& =& 1/8\\ b_3{c}_2^2{a}_{32}+b_4{c}_2^2{a}_{42}+b_4{c}_3^2{a}_{43}\mathrm{\&}=& 1/12\\ b_4{c}_2{a}_{32}{a}_{43}& =& 1/24\end{array}\}\text{ 4. rádu.}\end{array}$

Počet rovníc v $(\star )$ sa neúmerne a nelineárne zvyšuje s poradím konzistencie. Platí tiež, že nie je možné dosiahnuť ľubovoľný poriadok konzistencie s daným počtom krokov $s$, počet krokov tiež neúmerne rastie s poriadkom konzistencie. Tabuľka 1 poskytuje prehľad počtu poradí konzistencie a počtu krokov metódy eRK.

Podmienky poradia a počet krokov pre explicitné Runge-Kutta metódy

Rád $p$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
úrovne $s$	1	2	3	4	6	7	9	11	$\ge 13$	$\ge 15$
$\mathrm{\#}$ Ord-Bed.	1	2	4	8	17	37	85	200	486	1205

Nasledujúca veta sa vzťahuje na počet úrovní a poradie konzistencie pre eRKV:

(mäsiarstvo Bariere)
Pre poradie konzistentnosti $p\ge 5$ neexistuje explicitná RKV s $s=p$ úrovňami.
Neexistuje explicitný RKV pre poradie konzistencie $p\ge 7$ s $s=p+1$ úrovní.
Pre poradie konzistencie $p\ge 8$ neexistuje explicitná RKV s $s=p+2$ úrovňami.

"Dôkaz. Bez dôkazu ◻

Pomer poradia konzistencie $p$, ktoré treba dosiahnuť, k počtu úrovní $s$ je pre implicitné RCC rôzny. Vo všeobecnosti iRKV vyžadujú pre vyššie rády menej stupňov. Avšak (implicitný) výpočet medzistupňov $k_j$ je podstatne komplikovanejší, pretože v každom stupni treba riešiť $t_i$, $s$ (prípadne nelineárne) rovnice (4.1). Koeficienty iRKV možno odvodiť pomocou poriadkových podmienok $(\star )$, ale existujú aj iné (prípadne jednoduchšie) prístupy na dosiahnutie čo najpresnejšej alebo najstabilnejšej iRKV s daným počtom krokov. Tie sú vysvetlené v nasledujúcich častiach.