Obyčajné differenciálne rovnice/Konzistentnosť a konvergencia jednokrokových metód

3.1 Konzistentnosť a konvergencia postupu sk0s

Teraz sa bližšie pozrieme na skr exaktnosť skr sk0 a skr konvergenciu skr získanej postupnosti (numerickej Uvod2) k exaktnej Uvod2.

---

''Definícia 3.2 („Lokálna chyba (skráteniask-)“).

Sei $y$ die exakte Uvod2 skr Uvod4 (1.6). $\tau (t;h)=\tau (t;h;y;\mathrm{\Phi })\equiv \frac{y(t+h)-y(t)-h\mathrm{\Phi }(t,y(t);h;f)}{h},t\in G_h-\{t_{N_h}\}:=G{\text{'}}_h(3.8)$

sa nazýva local cut-off error (lokálna procedurálna chyba $\mathrm{\Phi }$) na mieste skr $t$.
V skr sk3 lokálna chyba je niekedy aj $\epsilon (t;h)=y(t+h)-y(t)-h\mathrm{\Phi }(t,y(t);h;f)\equiv h\tau (t;h)$.

označená.

---

''Poznámka 3.2 (Beskutung sks local Procedurálna chyba)

• Ak v hornej definícii nahradíme $y(t+h)$ za ${\eta }_{i+1}$ a $y(t)$ za ${\eta }_i$, dostaneme ${\eta }_i$ pomocou (3. 7) $\tau (t;h)=\epsilon (t;h)=0$. To znamená, že číselný Uvod2 spĺňa sk0 (3.7) presne. Presný Uvod2 $y(t)$ však nespĺňa rovnicu skr (3.7), ale spĺňa ju len približne, s možnou „malou“ lokálnou procedurálnou chybou. Lokálna chyba teda opisuje, ako „dobre“ presná Uvod2 spĺňa sk0 (3.7).
• Wenskt sa zadá do skm sk0 (3.7) ako východisková hodnota namiesto ${\eta }_i$ skn presnej hodnoty $y(t_i)$, číselná Uvod2 sa získa po jednom kroku (3.7)

${\tilde{\eta }}_{i+1}=y(t)+h\mathrm{\Phi }(t,y(t);\dots ),$

Lokálnu chybu skn možno chápať ako rozdiel skr numerickej a skr presnej Uvod2 po kroku sks sk0s, $\epsilon (t_i;h):=y(t_{i+1})-{\tilde{\eta }}_{i+1}$.

• Lokálnu Felhlerovu rovnicu sks možno ďalejskvyužiť v skm Taylorovom rozklade $y(t_i+h)$ okolo bodu $h=0$. Tu je zrejmé, že lokálna chyba skr opisuje, ako sa funkcia procesu $\mathrm{\Phi }$ aproximuje skn zvyšku skr Taylorovho radu: $y(t_i+h)=y(t_i)+h\underset{\approx \mathrm{\Phi }(t_i,y(t_i);h;f)}{\underbrace{y^{\prime }(t_i)+\frac{h^2}{2}{y}^{″}(t_i)+\dots }}=y(t_i)+h\mathrm{\Phi }(t_i,y;h;f)+\epsilon (t_i;h).$Teda nastane chyba skrátenia názvu skr.
  

Ak uvažujeme Volterrovu integrálnu rovnicu na intervale skm $(t_i,t_{i+1})$, $y(t_i+h)=y(t_i)+\underset{t_i}{\overset{t_{i+1}}{\int }}f(s,y(s))ds,$ v skr opisuje lokálnu chybu toho, ako dobre $h\mathrm{\Phi }$ aproximuje integrál $\underset{t_i}{\overset{t_{i+1}}{\int }}f(s,y(s))ds$.

Je jasné, že procesná funkcia zmysluplného ESV nemôže byť ľubovoľná, ale musí spĺňať určité vlastnosti. Aké sú to vlastnosti? Je žiaduce, aby lokálne procedurálne chyby skr klesali so stále menšou veľkosťou kroku $h$. Teraz uvažujeme definíciu skr lokálnej chyby procesu $\tau (t_i,h)=(y(t_i+h)-y(t_i)-h\mathrm{\Phi }(t_i,h))/h$, pozri (3.8). Pre $h\to 0$ dostávame $\frac{y(t_i+h)-y(t_i)}{h}=y^{\prime }(t_i)=f(t_i,y(t_i))$ v prvom člene na pravej strane skr. Aby sme zaručili malosť sk lokálnej chyby pre $h\to 0$, musí mať preto funkcia procesu nasledujúcu vlastnosťsk: $\varphi (t_i,y(t_i),h;f)\to f(t_i,y(t_i))\text{für}h\to 0.$

Táto vlastnosť sa nazýva konzistencia (kompatibilita) metódy sks s skr Uvod4, pozri (1.6). Kvalita skr aproximácie skr pravej strany skr Uvod4 $f$ funkciou metódy $\mathrm{\Phi }$ a teda presnosť skr numerickej metódy sa meria s skr poradím konzistencie.

---

''Definícia 3.3 („Konzistentnosť“)

Sei $\tau (t;h)$ skr lokaler Fehler sks sk0s.
Das sk0 (3.7) heißt konsistent mit skr Uvod4, wenn $\underset{t\in G{\text{'}}_h}{\max }|\tau (t;h)|\to 0\text{für}h\to 0.$ Model sk0 (3.7) má Minskst konzistentné poradie p $\in \mathbb{N}$ vzhľadom na skr Uvod4 (1.6), ak

$\underset{t\in G{\text{'}}_h}{\max }|\tau (t;h)|=𝒪(h^p)\text{für}h\to 0,$

t. j. existuje konštanta $C\in {ℝ}_{+},C<\mathrm{\infty }$ sodass $|\tau (t;h)|\le C{h}^p$ für alle $t\in (t_0,T)$.
Maximálne poradie konzistencie Minskst $p_{\max }\in \mathbb{N}$ je poradie konzistencie sks sk0s týkajúce sa skr Uvod4 (1.6).
Hansklt es sústava Uvod4n (1. 6), $m>1$, pričom konzistencia je definovaná pomocou skr ${ℝ}^m$ normy $\Vert \cdot \Vert$ namiesto množiny sk.

---

Príklad 3.3 Sei $f\in C^1([t_0,T]\times ℝ)$ ((raz spojito diferencovateľné v $t,y$). Určte poradie konzistencie explicitnej Eulerovej metódy (3.2).

Najprv vypočítame lokálnu chybu. Pre explicitnú Eulerovu metódu platí $\mathrm{\Phi }\equiv f$, preto $\tau (t,h)=\frac{1}{h}(y(t+h)-y(t)-hf(t,y(t))).$
Teraz prevedieme Taylorov rad na $h=0$, $y(t+h)=y(t)+h{y}^{\prime }(t)+\frac{h^2}{2}{y}^{″}(\xi ),\xi \in (t,t+h)$$f(t,y(t))$ za $y^{\prime }(t)$ podľa úlohy s počiatočnou hodnotou. Dostaneme

$\begin{array}{ccc}\tau (t,h)& =& \frac{1}{h}(y(t)+h{y}^{\prime }(t)+\frac{h^2}{2}{y}^{″}(\xi )-y(t)-h{y}^{\prime }(t))\\ & =& \frac{h}{2}{y}^{″}(\xi )\le \frac{C}{2}h=𝒪(h)\text{für}h\to 0,\end{array}$

da $y^{″}(\xi )=f^{\prime }(\xi ,y(\xi ))$ je spojitá funkcia a tá je rovnomerne ohraničená na uzavretom intervale $[t,t+h]$. To znamená, že explicitná Euerova metóda má rád konzistencie 1. $\diamond$ Okrem konzistencie jednokrokovej metódy pre počiatočnú hodnotu problému je dôležitý aj ďalší termín - konvergencia vygenerovaného numerického riešenia $\{{\eta }_i{\}}_{i=1}^{N_h}$ k presnému riešeniu $y(t)$ v bodoch siete $t\in G_h.$ Imaginárne sme v predchádzajúcom príklade určili konzistentnosť prvého rádu explicitnej Eulerovej metódy a v príklade 3.2 sme sa presvedčili, že táto metóda konverguje aj pre konkrétnu úlohu s počiatočnou hodnotou.Ako uvidíme neskôr, samotná konzistencia metódy nezaručuje konvergenciu numerického riešenia; vyžaduje sa aj ďalší predpoklad
Konvergencia jednokrokovej metódy sa kvantifikuje pomocou takzvanej globálnej diskretizácie chyby. Tá opisuje skutočnú vzdialenosť numericky vytvorenej postupnosti od presného riešenia:

---

''Definícia 3.4 („Globálna chyba“) Nech $y$ je presné riešenie počiatočnej hodnotovej úlohy (1.6). Jednokroková metóda (3.7) definuje funkciu mriežky takto $\eta$
$\eta (\cdot ;h):G_h\to {ℝ}^m$, ${\eta }_0:y(t_0),{\eta }_{i+1}={\eta }_i+h\mathrm{\Phi }(t_i,{\eta }_i;h;f),i=0,1,\dots N_h-1$.
globálna chyba diskretizácie v bode $t\in G_h$ je definovaná ako

$e(t;h)=y(t)-\eta (t;h).(3.9)$

---

V každom kroku numerického postupu sa v príslušnom bode získa aproximácia riešenia, ktorá sa použije v ďalších krokoch. Na začiatku ($t=t_0$) vezmeme presnú počiatočnú hodnotu $y(t_0)$ a v prvom kroku ESV získame numerické riešenie ${\eta }_1$ v $t_1$, kde ${\eta }_1\approx y(t_1)$. Tá sa v ďalšom kroku použije na výpočet ${\eta }_2$, ale v tomto (druhom) kroku je už počiatočná hodnota chybná, ako v ${\eta }_1\ne y(t_1)$. Preto numerické riešenie, ktoré sa skutočne vygeneruje od druhého kroku, už nebude zodpovedať numerickému riešeniu $\tilde{\eta }$ (vychádzajúcemu z presnej počiatočnej hodnoty, pozri poznámku 3.1 bod ii). Okrem lokálnej chyby diskretizácie sú do výpočtu numerického kroku zahrnuté aj nesprávne počiatočné hodnoty, t. j. ďalšia nepresnosť. V každom kroku výpočtu sa chyba kumuluje do globálnej diskretizácie $e(t_i;h)$. Tá sa preto líši od lokálnej chyby $\epsilon (t_i;h)$ pre$i=2,\dots N_h$. Konvergentná jednokroková metóda sa však vyznačuje primerane malou globálnou diskretizovanou chybou, ktorá zaniká pre veľkosť kroku $h\to 0$. Kumulácia chyby, lokálnej chyby procesu a globálnej diskretizácie je znázornená na nasledujúcom diagrame.

Kvalita konvergencie jednokrokového postupu je definovaná malosťou globálnej diskretizácie nasledujúcim spôsobom.

Obrázok 3.5: Lokálna a globálna chyba diskretizácie, porovnanie.

---

'Definícia 3.5 (KonvergenciaKonvergencia)

Sei $e(t;h)$ globálnu chybu jednostupňového postupu.
Jednokrokový postup (3.7) sa nazývakonvergentpre úlohu s počiatočnou hodnotou (1.6), ak$\underset{t\in G_h}{\max }\Vert e(t;h)\Vert \to 0\text{für}h\to 0,$ popisuje tu $\Vert \cdot \Vert$ eine Norm in ${ℝ}^m$.
Jednokroková metóda (3.7) má minimálny rád konvergencie p $\in \mathbb{N}$ vzhľadom na úlohu počiatočnej hodnoty (1.6), ak

$\underset{t\in G_h}{\max }\Vert e(t;h)\Vert =𝒪(h^p)\text{für}h\to 0.$
Maximálny minimálny rád konvergencie $p_{\max }\in \mathbb{N}$ sa nazýva rád konvergencie jednokrokovej metódy vzhľadom na počiatočnú hodnotu problému (1.6).

Imaginárne metódy V nasledujúcom texte budeme študovať postačujúcu podmienku konvergencie jednokrokovej metódy. Nápomocná nám bude nasledujúca lema.

---

Lema 3.1

Nech $\{v_i{\}}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$ je reálna postupnosť a nech rekurzívny vzťah $\begin{array}{ccc}{v}_0& =& 0,\\ |v_{n+1}|& \le & (1+\alpha )|v_n|+\beta ,n=0,1,\dots \end{array}(3.10)$

kde $\alpha >0,\beta \ge 0.$ Potom platí nasledujúci odhad: $|v_n|\le \frac{\beta }{\alpha }(e^{n\alpha }-1)(3.11)$

"Dôkaz. Je zrejmé, že tvrdenie platí pre $n=0$, pretože $|v_0|=0\le \frac{\beta }{\alpha }(e^0-1)=0.$
Pre $n=1$ platí po rekurzívnom kroku (3.10) $$|v_1|\le (1+\alpha )\cdot 0+\beta =\beta$$.

Daľej $e^{\alpha }>1+\alpha$, alebo $\frac{e^{\alpha }-1}{\alpha }>1$ platí pre $\alpha >0$ (dopočítajte! ), dostaneme z horného $|v_1|\le \beta <\beta \frac{e^{\alpha }-1}{\alpha }$.
Po postupe rekurzie
$|v_2|\le (1+\alpha )|v_1|+\beta =((1+\alpha )+1)\beta$,
$|v_n|\le ((1+\alpha {)}^{n-1}+(1+\alpha {)}^{n-2}+\dots +(1+\alpha )+1)\beta =\beta \frac{1-(1+\alpha {)}^n}{1-(1+\alpha )}=\frac{\beta }{\alpha }((1+\alpha {)}^n-1).$ a tak ďalej.
Takže pomocou rekurzie (3. 10) po $n$ krokoch a sumárnym vzorcom pre geometrický rad $$1+\alpha )<1+\alpha +\frac{{\alpha }^2}{2!}+\frac{{\alpha }^3}{3!}+\dots =e^{\alpha }$$

Ak odhadneme horný výraz $(1+\alpha )$ smerom nahor pomocou $(1+\alpha )<1+\alpha +\frac{{\alpha }^2}{2!}+\frac{{\alpha }^3}{3!}+\dots =e^{\alpha }$, dostaneme napokon tvrdenie lemy. ◻

---

''Veta 3.1 (Miestna konvergencia)

Nech $y\in C^1[t_0,T]$ je jedinečné spojito diferencovateľné riešenie AWA (1.6) a množina $S_{h,\gamma }$ pás $\gamma$ okolo presného riešenia: $$S_{h,\gamma }:=\{(t,\eta ),t\in G{\text{'}}_h,\eta \in {ℝ}^m\text{(Gitterfunktion)},\text{mit }\Vert \eta (t)-y(t)\Vert \le \gamma ,0<h<T-t_0\}.$$ Platí tiež

1. $\mathrm{\Phi }$ je rovnomerne Lipschitzovo spojité na $S_{h,\gamma }$ s konštantou $M>0$, t.j. $M>0$. h. $$\Vert \mathrm{\Phi }(t,{\eta }_1;h;f)-\mathrm{\Phi }(t,{\eta }_2;h;f)\Vert \le M\Vert {\eta }_1-{\eta }_2\Vert \mathrm{\forall }(t,{\eta }_1),(t,{\eta }_2)\in S_{h,\gamma },$$
2. $\mathrm{\Phi }$ majú minimálny rád konzistencie $p$ vzhľadom na AWA (1.6), t. j. existuje $K>0$ s $$\underset{t\in G{\text{'}}_h}{\max }\Vert \tau (t;h)\Vert \le K{h}^p,\text{für}0<h<T-t_0.$$

Potom existuje $\overline{h}\in [0,h_0]$, takže pre $\mathrm{\forall }t\in G_h$ a všetky $0<h\le \overline{h}\le h_0$ platí $$\Vert e(t;h)\Vert \le \frac{K}{M}{h}^p(e^{M(t-t_0)}-1).(3.12)$$

Obrázok 3.6: Súbor $S_{h,\gamma }$ ($\gamma$ pásy)

---

Dôkaz. Lipschitzova spojitosť funkcie metódy je podstatná pre dôkaz konvergencie konzistentnej jednokrokovej metódy. Množina $S_{h,\gamma }$ zaručuje lokálnu Lipschitzovu spojitosť $\mathrm{\Phi }$. Je zrejmé, že $y(t_0)\in S_{h,\gamma }$ a $y(t)\in S_{h,\gamma }$ pre $t\in G{\text{'}}_h$. Aproximačná metóda (3. 7) môže viesť z $\gamma$ pásu $S_{h,\gamma }$ (kde začínala v $t_0$), t.j. ${\eta }_{i+1}={\eta }_i+h\mathrm{\Phi }(t,\eta ,h,f)\notin S_{h,\gamma }$ pre ${\eta }_i\in S_{h,\gamma }$. Aby sme tomu zabránili, upravíme jednokrokový postup tak, že hodnoty mriežkovej funkcie $\eta (t)$ stiahneme pomocou $\Vert \eta (t)-y(t)\Vert >\gamma$ na okraj $S_{h,\gamma }$. Túto modifikáciu si najprv znázorníme graficky. Zodpovedajúca modifikovaná funkcia procesu je: $$\begin{array}{c}\hat{\mathrm{\Phi }}(t,\hat{\eta },h,f)=\{\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }(t,\eta (t),h,f)\text{falls}(t,\eta )\in S_{h,\gamma },\\ \mathrm{\Phi }(t,y(t)+\gamma ,h,f)\text{falls}(t,\eta )\notin S_{h,\gamma },\eta (t)>y(t)+\gamma ,\\ \mathrm{\Phi }(t,y(t)-\gamma ,h,f)\text{falls}(t,\eta )\notin S_{h,\gamma },\eta (t)<y(t)-\gamma .\end{array}\end{array}$$

Pomocou tejto funkcie metódy získame dvojice $(t,\hat{\eta }(t))\in S_{h,\gamma }$.
Keďže pôvodná $\mathrm{\Phi }$ Lipschitzova funkcia bola spojitá na $S_{h,\gamma }$, táto vlastnosť je zachovaná pre $\hat{\mathrm{\Phi }}$.

Teraz skúmame globálnu diskretizovanú chybu ${\hat{e}}_{i+1}:=\hat{e}(t_{i+1},h)=y(t_{i+1})-{\hat{\eta }}_{i+1}$ aproximačnej postupnosti ${\hat{\eta }}_i$ (modifikovanej metódy). Es gilt $${\hat{\eta }}_{i+1}={\hat{\eta }}_i+h\hat{\mathrm{\Phi }}(t,{\hat{\eta }}_i;h;f),i=0,1,\dots N_h-1,{\hat{\eta }}_0=y(t_0).(3.13)$$

Pre presné riešenie porovnajte (3.8), $$y(t_{i+1})=y(t_i)+h\hat{\mathrm{\Phi }}(t_i,y(t_i);h;f)+h\hat{\tau }(t_i,h).$$

Lokálna chyba skrátenia modifikovanej metódy sa rovná pôvodnej, $$\hat{\tau }(t;h)=\frac{1}{h}(y(t+h)-y(t)-h\hat{\mathrm{\Phi }}(t,y(t),....))=\frac{1}{h}(y(t+h)-y(t)-h\mathrm{\Phi }(t,y(t),...))=\tau (t;h),$$

keďže $\mathrm{\Phi }$ a $\hat{\mathrm{\Phi }}$ sa líšia len v druhom argumente, ktorý je tu totožný (presné riešenie), pozri (3.8). Preto pre presné riešenie dostávame $$y(t_{i+1})=y(t_i)+h\hat{\mathrm{\Phi }}(t_i,y(t_i);h;f)+h\tau (t_i,h).$$

Ak do $y(t_{i+1})$ a ${\hat{\eta }}_{i+1}$ vložíte ${\hat{e}}_{i+1}$, dostaneme $${\hat{e}}_{i+1}=y(t_i)-{\hat{\eta }}_i+h(\hat{\mathrm{\Phi }}(t_i,y(t_i);h;f)-\hat{\mathrm{\Phi }}(t,{\hat{\eta }}_i;h;f))+h\tau (t_i,h).$$

Pomocou trojuholníkovej nerovnosti vektorovej normy, pozri definíciu 2. 2, Lipschitzovej spojitosti $\hat{\mathrm{\Phi }}$ vzhľadom na druhú premennú (predpoklad i)) a predpoklad ii) dostanete odhad $$\Vert {\hat{e}}_{i+1}\Vert \le \Vert {\hat{e}}_i\Vert +hM\Vert y(t_i)-{\hat{\eta }}_i\Vert +K{h}^{p+1}=\Vert {\hat{e}}_i\Vert (1+hM)+K{h}^{p+1}.$$

Použitím odhadu (3.11) pre rekurentné postupnosti nakoniec dostaneme $$\Vert {\hat{e}}_i\Vert \le \frac{K{h}^p}{M}(e^{ihM}-1),i=0,1,\dots N_h.$$

Keďže $ih=t_i-t_0$, (3.12) je najprv dokázaný pre modifikovanú (v $S_{h,\gamma }$) obmedzenú metódu (3.13).

Na riešenie (3. 12) v prípade $e_i=e(t,h),t\in G_h$ si všimnite, že že $t_i-t_0\le T-t_0$ a preto $\Vert {\hat{e}}_i\Vert \le \frac{K}{M}(e^{(T-t_0)M}-1)h^p=C{h}^p,C>0$. Teraz zvoľte veľkosť kroku $h<h_0$ dostatočne malú, aby $C{h}^p\le \gamma$ pre vopred danú $\gamma >0$. To znamená, že globálna chyba $$\Vert {\hat{e}}_i\Vert \equiv \Vert y(t_i)-\hat{\eta }(t_i)\Vert \le \gamma \text{ pre všetky}i=0,1,\dots N_h.$$

V tomto prípade ESV (3.13) nikdy nepovedie mimo $\gamma$ pásu $S_{h,\gamma }$ a funkciu metódy netreba upravovať, $\hat{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{\Phi }.$ Z toho vyplýva, že pre dostatočne malú veľkosť kroku $h$, ${\hat{\eta }}_i={\eta }_i$ a ${\hat{e}}_i=e_i$ je dokázané pre všetky $i=0,1,\dots N_h$ (3.12).

Poznámka 3.2 Závery a poznámky k tvrdeniu 3.1:

1. Záver odhadu globálnej chyby (3.12) vo vete 3.1 je
   $\Vert e(t;h)\Vert \le C{h}^p,$ alebo $\underset{t\in G_h}{\max }\Vert e(t;h)\Vert =𝒪(h^p)$. Teda jednokroková metóda (3.7) má minimálny rád konvergencie $p$ vzhľadom na AWA (1.6), porovnaj definíciu 3.5.
2. Konzistencia a lokálna Lipschitzova spojitosť funkcie metódy $\mathrm{\Phi }$ v páse $S_{h,\gamma }$ sú postačujúce podmienky pre (lokálnu) konvergenciu jednokrokovej metódy voči jednoznačnému presnému riešeniu.
3. V hornej hranici globálnej chyby diskretizácie hrá úlohu faktor
   $h^p(e^{(t-t_0)M}-1),t\in G_h$. Je to tým väčšie $t$, čím väčšia môže byť globálna chyba (chyba sa kumuluje) a čím menšiu veľkosť kroku $h$ treba zvoliť, aby sa chyba obmedzila. Dobrá metóda však poskytuje globálnu chybu, ktorá je uspokojivá aj pre "veľké" $h$.

''Príklad 3.4 ("Explicitná Eulerova metóda")

Pre metódu (3.2)
platí nasledovné $\mathrm{\Phi }(t,y;h;f)=f(t,y)$. Táto metóda má rád konzistencie 1 pre $f\in C^1$, pozri príklad (3.3). Da $f$ je spojito diferencovateľný v $y$, $f$ je tiež (lokálne) Lipschitzovo spojitý (presvedčte sa o tom aplikáciou vety o strednej hodnote).

Z toho vyplýva, že existuje jedinečné presné riešenie AWA a explicitná Eulerova metóda má (minimálny) rád konvergencie 1. $\diamond$

'Príklad 3.5 (vylepšená (modifikovaná) Eulerova metóda)

Funkcia skreslenia vylepšenej Eulerovej metódy je $\mathrm{\Phi }(t,y;h;f)=f(t+\frac{h}{2},y+\frac{h}{2}f(t,y))$, vergleiche (3.4).
Nech $f\in C^1⟹f$ spĺňa Lipschitzovu podmienku (lokálne).
Teraz ukážeme, že $\mathrm{\Phi }$ je tiež Lipschitzovo spojitý: Pomocou definície vzorca procesnej funkcie, dvojitej aplikácie Lipschitzovej spojitosti $f$ a trojuholníkovej nerovnosti dostaneme $\begin{array}{ccc}\Vert \mathrm{\Phi }(t,y_1;h;f)-\mathrm{\Phi }(t,y_2;h;f)\Vert & =& \Vert f(t+\frac{h}{2},y_1+\frac{h}{2}f(t,y_1))-f(t+\frac{h}{2},y_2+\frac{h}{2}f(t,y_1))\Vert \\ & \le & L\Vert (y_1+\frac{h}{2}f(t,y_1))-(y_2+\frac{h}{2}f(t,y_2))\Vert \\ & \le & L\Vert y_1-y_2\Vert +L\frac{h}{2}\Vert f(t,y_1)-f(t,y_2)\Vert \\ & \le & L(1+L\frac{h}{2})\Vert y_1-y_2\Vert =\tilde{L}\Vert y_1-y_2\Vert ,\end{array}$

t. j. $\mathrm{\Phi }$ spĺňa Lipschtizovu podmienku s konštantou $\tilde{L}:=L(1+L\frac{h}{2}).$

Teraz určíme poriadok konzistencie tejto metódy. Predpokladáme, že $f\in C^2$. Podobne ako v príklade 3.3 vypočítame lokálnu chybu $$\tau (t,h)=\frac{1}{h}(y(t+h)-y(t)-h[f(t+\frac{h}{2},y+\frac{h}{2}f(t,y))\left]\right).$$

Teraz nahradíme $y(t+h)$ a funkciu procesu $f(t+\frac{1}{h},y+\frac{1}{h}f(t,y))$ s Taylorovým radom okolo bodu vývoja $h=0$, $$y(t+h)=y(t)+h{y}^{\prime }(t)+\frac{h^2}{2}{y}^{″}(t)+\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(\theta )\mathrm{\%}+\frac{h^4}{4!}{y}^{(iv)}(\theta ),\theta \in (t,t+h),$$ $\begin{array}{cccc}f(t+\frac{,}{y}+\frac{f}{(}t,y))& =& f(t,y)\mathrm{\%}(t+\frac{,}{y}+\frac{f}{(}t,y)){|}_{h=0}+h\frac{df(t+\frac{,}{y}+\frac{f}{(}t,y))}{dh}{|}_{h=0}+\frac{h^2}{2!}\frac{d^{2}f(t+\frac{,}{y}+\frac{f}{(}t,y))}{d{h}^2}{|}_{h=0}\mathrm{\%}+\frac{h^3}{3!}\frac{d^{3}f}{d{h}^3}+\dots \mathrm{\&}=& f(t,y)+h(\frac{1}{2}{f}_t+\frac{f}{2}{f}_y)(t,y)+\frac{h^2}{2!}\mathrm{\%}\left(\frac{h}{2}{)}^2\right(\frac{1}{4}{f}_{tt}+2\frac{f}{4}{f}_{ty}+\frac{f^2}{4}{f}_{yy})({\theta }_1,{\theta }_2)\end{array}$

s ${\theta }_1\in (t,t+\frac{)}{,}{\theta }_2\in (y+\frac{f}{(}t,y)).$ Tu $f_t:={\partial }_{t}f(\cdot ,\cdot ),f_y:={\partial }_{y}f(\cdot ,\cdot ),f_{ty}:={\partial }_{ty}f(\cdot ,\cdot$ zodpovedajúce prvej a druhej parciálnej derivácii $f(t,y)$ k $t,y$.
Nachádzame $y(t+h)$ a $f(t+\frac{,}{y}+\frac{f}{(}t,y))$ po vložení $\tau$, pričom zohľadníme $\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }(t)& =& f(t,y(t))\text{und}\\ y^{″}(t)& =& f^{\prime }(t,y(t)=f_t(t,y)+f_y(t,y)y^{\prime }(t)\equiv f_t(t,y)+f_y(t,y)f(t,y)\end{array}(3.14)$

dostaneme $$\begin{array}{ccc}\tau (t,h)& =& y^{\prime }(t)+\frac{h}{2}{y}^{″}(t)+\frac{h^2}{6}{y}^{‴}(\theta )-(\underset{y^{\prime }(t)}{\underbrace{f(t,y)}}+\frac{h}{2}(\underset{y^{″}(t)}{\underbrace{f_t+f{f}_y}})(t,y)+\frac{h^2}{8}(f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy})({\theta }_1,{\theta }_2))\\ & =& \frac{h^2}{6}{y}^{‴}(\theta )-\frac{h^2}{8}(f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy})({\theta }_1,{\theta }_2).\mathrm{\%}+ℛ(h^3)\text{für}h\to 0,\end{array}$$

Podľa predpokladu je $f(t,y)$ dvakrát spojito diferencovateľný v $t$ a $y$ a $y(t)$ je trikrát spojito diferencovateľný v $t$, takže existuje konštanta $C>0$ s $$\Vert \tau (t,h)\Vert \le \Vert \frac{h^2}{6}{y}^{‴}(\theta )\Vert +\Vert \frac{h^2}{8}(f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy})({\theta }_1,{\theta }_2)\Vert \le C{h}^2.$$

To znamená, že $\tau (t,h)=𝒪(h^2)$, minimálny rád konzistencie je 2.

Teraz skúmame, či je možné dosiahnuť vyšší rád konzistencie. Na to treba Taylorov rad rozšíriť o ďalšiu mocninu $h$. V tomto prípade sa $y^{‴}$ vyhodnocuje v $t$, druhý diferenciál $f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy}$ sa vyhodnocuje v $(t,y)$ a Taylorove zvyšky (obsahuje $h^4$) v $\theta$ alebo $({\theta }_1,{\theta }_2)$. Po vložení rozšíreného radu do $\tau (t,h)$ dostaneme podobne ako vyššie $$\tau (t,h)=\frac{h^2}{6}{y}^{‴}(t)-\frac{h^2}{8}(f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy})(t,y)+ℛ(h^3),$$ kde $ℛ(h^3)$ obsahuje Taylorove zvyšky s $h^3$. Výsledkom pokračovania (3.14) je $$\begin{array}{ccc}{y}^{‴}(t)& =& f^{″}(t,y(t))=\frac{d(f_t(t,y)+f_y(t,y)f(t,y))}{dt}\\ & =& (f_{tt}+f_{ty}{y}^{\prime }+f_{yt}f+f_y{f}_t+f_{yy}{y}^{\prime }f+f_y^2{y}^{\prime })(t,y)\\ & \stackrel{y^{\prime }=f}{=}& (f_{tt}+2f_{ty}f+f_y{f}_t+f_{yy}{f}^2+f_y^{2}f)(t,y)\\ neq& (f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy})(t,y).\end{array}(3.15)$$

Z toho vyplýva, že kvadratické členy vo výraze pre $\tau (t,h)$, $$\frac{1}{6}{y}^{‴}(t)-\frac{1}{8}(f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy})(t,y)\ne 0.$$ To znamená, že maximálny minimálny rád konzistencie (rad konzistencie) tejto metódy zostáva 2. Nakoniec dostaneme rad konvergencie 2 vylepšenej Eulerovej metódy s Lipschtitzovou spojitosťou funkcie metódy. $\diamond$

Na záver tejto kapitoly teraz zhrnieme postup určenia rádu zhody jednokrokovej metódy:

1. Vypočítajte Taylorov rozvoj presného riešenia v bode $t$, $$y(t+h)=y(t)+h{y}^{\prime }(t)+\dots$$
2. Vypočítajte Taylorov rozvoj procesnej funkcie v bode $h=0$, $$\varphi (t,y;h;f)=\varphi (t,y;0;f)+h\frac{d\varphi }{dh}(t,y;h;f){|}_{h=0}+\dots$$
3. Vložte Taylorov rad do definície lokálnej chyby $$\tau (t,h)\equiv \frac{1}{h}(y(t+h)-y(t)-h[\mathrm{\Phi }(t,y;h;f)\left]\right).$$
4. Nahraďte vyskytujúce sa derivácie $y$ ako v (3.14) a (3.15) a porovnajte výsledné koeficienty pri $h,h^2,\dots ,h^{p-1}$ v $\tau$. Ak sú tieto nulové, metóda má minimálny poriadok konzistencie $p$.
5. Preskúmajte možnosť vyššieho rádu konzistencie, analyzujte výsledný koeficient pri $h^p$.

''Poznámka 3.3

V príklade 3.5 sme videli, že niektoré členy z $y^{‴}$ s
$f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy}$ pozri (3.15). To vedie k nasledujúcej úvahe. Ak by Taylorov rozvoj procesnej funkcie $\mathrm{\Phi }$ obsahoval konštantu $1/6$ v člene s $h^2$, členy $f_{tt}+2f{f}_{ty}+f^2{f}_{yy}$ by úplne zanikli a vo vedúcom chybovom člene by bola len časť $y^{‴}$. Der lokaler Fehler $\tau$ wäre so minimal. Verfahren, die Metódy, ktoré minimalizujú konštantu vedúceho chybového člena, sa nazývajú aj optimálne. Videli sme, že modifikovaná Eulerova metóda (explicitné pravidlo stredového bodu) nie je z tohto hľadiska optimálna. Imanie koeficientu metódy je optimálne." V nasledujúcej kapitole sa oboznámime s jednokrokovou Runge-Kutta metódou, ktorej konštrukcia s viacerými stupňami voľnosti je vhodná pre koeficienty metódy. Voľné parametre možno zvoliť tak, aby výsledná metóda mala čo najvyšší rád a čo najmenšie prvky vedúcej chyby.