Ma trận

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật của các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột . Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục.

Kích thước

Kích thước hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên gọi	Độ lớn	Ví daụ	Miêu tả
Vectơ hàng	1 × n	$\left[\begin{array}{ccc}3& 7& 2\end{array}\right]$	Ma trận có một hàng, được dùng để biểu diễn một vectơ
Vectơ cột	n × 1	$\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 8\end{array}\right]$	Ma trận có một cột, được dùng để biểu diễn một vectơ
Ma trận vuông	n × n	$\left[\begin{array}{ccc}9& 13& 5\\ 1& 11& 7\\ 2& 6& 3\end{array}\right]$	Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt.

Ký hiệu

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right].$

Công thức toán

$𝐀=\left(a_{ij}\right)\in {ℝ}^{m\times n}.$

Các phép toán cơ bản

Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân một số với ma trận, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.

Chuyển vị

Chuyển vị của ma trận m-x-n A là ma trận n-x-m A^T (cũng còn ký hiệu là A^tr hay ^tA) tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng

Template:Nowrap begin(A^T)_i,j = A_j,i.Template:Nowrap end

${\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -6& 7\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -6\\ 3& 7\end{array}\right]$

Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận.

(cA)^T = c(A^T)

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)^T = A

(AB)^T=B^TA^T

Cộng hai ma trận

Tổng A+B của hai ma trận cùng kích thước m-x-n A và B được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận

(A + B)_i,j = A_i,j + B_i,j, với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 5\\ 7& 5& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1+0& 3+0& 1+5\\ 1+7& 0+5& 0+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 8& 5& 0\end{array}\right]$

Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính:

A + B = B + A.

(A + B) + C = A + (B + C)

Phép nhân một số cho ma trận - Nhân (vô hướng) một số với ma trận

Tích cA của số c (cũng được gọi là vô hướng trong đại số trừu tượng) với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với c

Template:Nowrap begin(cA)_i,j = c • A_i,j.Template:Nowrap end

Phép toán này được gọi là nhân vô hướng, nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm "tích vô hướng" hay "tích trong".

$2\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 8& 2\cdot -3\\ 2\cdot 4& 2\cdot -2& 2\cdot 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$