Inversa de matrius

Aquesta secció recull mètodes per fer la invers d'una matriu.

Inversa per menors

Per fer aquest tipus d'inversa es necessiten petites eines o conceptes per obtenir una visió simplista i ràpida del que és la inversa amb menors.

Menor complementari

El menor complementari de $a_{23}$ de la matriu $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& \begin{array}{c}7\end{array}& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right)$ és el determinant: $M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 9& 10& 12\\ 13& 14& 16\end{array}\right|$

Adjunt d'un element

L'adjunt de $a_{23}$ de la matriu $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& \begin{array}{c}7\end{array}& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right)$

Tenint en compte els signes següents:

$\left(\begin{array}{cccccc}+& -& +& -& +& \cdots \\ -& +& -& +& -& \cdots \\ +& -& +& -& +& \cdots \\ -& +& -& +& -& \cdots \\ +& -& +& -& +& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

és el determinant $(-1{)}^{2+3}\cdot M_{23}=(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 9& 10& 12\\ 13& 14& 16\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 9& 10& 12\\ 13& 14& 16\end{array}\right|$

Menors de diferent ordre

Aquí parlem en plural ja que es tracta d'identificar-los simplement.

Els menors d'ordre 1 d'una matriu són tots els seus elements. Si la matriu és $3\times 5,$ llavors té 15 menors d'ordre 1 sense importar si es repeteixen.

Els menors d'ordre 2 d'una matriu són tots els determinants de matrius $2\times 2$ que podem obtenir eliminant les files i columnes que siguin necessàries.

Els menors d'ordre 3 d'una matriu són tots els determinants de matrius $3\times 3$ que podem obtenir eliminant les files i columnes que siguin necessàries.

I així successivament per als menors d'ordre superior.

Càlcul de rang per menors

Per calcular el rang només cal buscar el menor més gran possible que no sigui zero, llavors l'ordre d'aquest menor és el rang.

• S'ha de començar pels menors d'ordre més grans i, si tots són zero, continuar la recerca dels següents menors d'ordre inferior.

Adjunta d'una matriu

L'adjunta d'una matriu quadrada és una nova matriu del mateix ordre, on els elements ara són els adjunts dels elements anteriors i un signe $(-1{)}^{i+j}$, per exemple i com a similitud de:

Donada la matriu $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right),$ llavors: $adjunta(A)=Adj(A)=\left(\begin{array}{ccc}{M}_{11}& -M_{12}& M_{13}\\ -M_{21}& M_{22}& -M_{23}\\ M_{31}& -M_{32}& M_{33}\end{array}\right)$

tenim:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$ llavors: $adjunta(A)=Adj(A)$ $=\left(\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|& \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{ccc}-3& 6& -3\\ 6& -12& 6\\ -3& 6& -3\end{array}\right).$

Càlcul d'inversa

Per aquest càlcul es fa servir la fórmula: $\frac{1}{det(A)}\cdot Adj(A{)}^t$

Exercici:

Calculeu amb aquest mètode la inversa de les matrius:

a) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& 1& -2\\ -4& -1& 0\end{array}\right)$

b) $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 0\\ 0& 1& 3\\ 1& 2& -1\end{array}\right)$

c) $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 6& -1& 2\\ -4& 4& 2\end{array}\right)$

d) $D=\left(\begin{array}{ccc}-1& 4& 0\\ 0& 1& 1\\ -2& 2& -1\end{array}\right)$

e) $E=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 0& 2\\ -3& 1& 4\end{array}\right)$