Exercicis derivades 01

Exercicis de derivades destinat a batxillerat.

• Taula de derivades de funcions del 1 fins al 6, i totes les operacions

Per treballar autònomament es pot fer servir aquestes dues eines:

• La web de Symbolab que treballa amb notació LaTeX:

Per enganxar una fórmula s'ha de activar editar i buscar al fórmula, seleccionar-la i enganxar-la a la web Symbolab, no seleccioneu les dues capsules seguents <math></math> pròpies de "wikipedia", només lo que està dins d'elles.

<math>\left(frac{1}{x}+x^3-4x^2+5\right)'</math>

• També es pot utilitzar l'aplicació Wolfram Alpha que fa el mateix.

• També es pot utilitzar l'aplicació Photomath que permet amb una càmera resoldre problemes enunciats físicament que es puguin veure.

Bàsic

Exemple

Derivada segons la taula de [Taula_derivades-batx derivades] P1, P2, P2.1 i P3.

1) $f(x)=x^3$ aplicant P2. $\to f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

2) $f(x)=\sqrt[3]{x}$ aplicant P3. $\to f^{\prime }(x)=(\sqrt[3]{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{3-1}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3) $f(x)=\sqrt[5]{x}$ aplicant P3. $\to f^{\prime }(x)=(\sqrt[5]{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{5-1}}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$

4) $f(x)=x^5$ aplicant P2. $\to f^{\prime }(x)=(x^5{)}^{\prime }=5\cdot x^{5-1}=5x^4$

5) $f(x)=x^{\frac{5}{2}}$ aplicant P2. $\to f^{\prime }(x)=(x^{\frac{5}{2}}{)}^{\prime }=\frac{5}{2}{x}^{\frac{5}{2}-1}=\frac{5}{2}{x}^{\frac{2}{2}}$

Multiplicació de funcions

A partir d'ara per aplicar els mètodes omplireu el requadre fg que teniu a la dreta.

$f(x)=$	$f{}^{\prime }(x)=$
$g(x)=$	$g{}^{\prime }(x)=$

$(f(x)\cdot g(x))$ $=f{}^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g{}^{\prime }(x)$

Exemples

Divisió de funcions

$f(x)=$	$f{}^{\prime }(x)=$
$g(x)=$	$g{}^{\prime }(x)=$

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$ $=\frac{f{}^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g{}^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

Exemples

1) $h(x)=\frac{x-3}{x^2}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)=$ $\frac{1\cdot \left(x^2\right)-(x-3)\cdot 2x}{{\left(x^2\right)}^2}=$ $\frac{x^2-(x-3)\cdot 2x}{x^4}=$ $\frac{x-(x-3)\cdot 2}{x^3}=$ $\frac{x-2x+6}{x^3}=$ $\frac{-x+6}{x^3}$ Compareu aquest altre procediment: $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)=$ $(\frac{x}{x^2}-\frac{3}{x^2})=$ $\left(\frac{1}{x}\right)-\left(\frac{3}{x^2}\right)=$ $-\frac{1}{x^2}+2\cdot \frac{3}{x^3}=$ $-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}=$ $\frac{-x+6}{x^3}$	2) $h(x)=\frac{x^4-1}{x}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x^4-1}{x}\right)=$ $\frac{\left(4x^3\right)\cdot x-(x^4-1)\cdot 1}{x^2}=$ $\frac{4x^4-x^4+1}{x^2}=$ $\frac{3x^4+1}{x^2}$
3) $h(x)=\frac{\sqrt{x}+x}{x}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{\sqrt{x}+x}{x}\right)=$ $\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1)\cdot x-(\sqrt{x}+x)\cdot 1}{x^2}=$ $\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=$ $\frac{\frac{x\cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=$ $\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=$ $\frac{(\frac{1}{2}-1)\sqrt{x}+x-x}{x^2}=$ $\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=$ $-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2}$	4) $h(x)=\frac{x\sqrt{x}}{x^3}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)=$ $\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2}\right)=$ $\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{{\left(x^2\right)}^2}=$ $\frac{\frac{1\cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{{\left(x^2\right)}^2}=$ $\frac{\frac{\sqrt{x}}{2x}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=$ $\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=$ $\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}\cdot 2}{x^3}=$ $-\frac{3}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^3}$ Compareu aquest altre procediment: $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)=$ $\left(x^{1+\frac{1}{2}-3}\right)=$ $\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)=$ $-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{5}{2}}$
5) $h(x)=\frac{3+x}{x^2}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{3+x}{x^2}\right)=$ $\frac{(3+x{)}^{\prime }\cdot x^2-(3+x)\cdot (x^2{)}^{\prime }}{(x^2{)}^2}=$ $\frac{1\cdot x^2-(3+x)\cdot 2x}{x^4}=$ $\frac{x-(3+x)\cdot 2}{x^3}=$ $\frac{x-6-2x}{x^3}=$ $\frac{-x-6}{x^3}$ Compareu aquest altre procediment: $h^{\prime }(x)=(\frac{3}{x^2}+\frac{x}{x^2})=$ $\left(\frac{3}{x^2}\right)+\left(\frac{1}{x}\right)=$ $-\frac{6}{x^3}-\frac{1}{x^2}$	6) $h(x)=\frac{1}{x^8+x}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{1}{x^8+x}\right)$ $=\frac{(1{)}^{\prime }(x^8+x)-1(x^8+x)}{(x^8+x{)}^2}$ $=\frac{0(x^8+x)-1(8\cdot x^7+1)}{(x^8+x{)}^2}$ $=-\frac{8x^7+1}{(x^8+x{)}^2}$ També es pot fer servir l'esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició: $f(x)=\frac{1}{x}$ $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ $g(x)=x^8+x$ $g^{\prime }(x)=8x^7+1$ $\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }$ $=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$ $=-\frac{1}{(x^8+x{)}^2}\cdot (8x^7+1)$
7) $h(x)=\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}\right)$ $=\frac{(x^2+\ln x)\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\left(\sqrt[4]{x}\right)}{(\sqrt[4]{x}{)}^2}$ $=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}}{(\sqrt[4]{x}{)}^2}$ $=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}}{\sqrt{x}}.$	8) $h(x)=\frac{x^2-x{e}^x}{e^x}$ $h^{\prime }(x)=\left(\frac{x^2-x{e}^x}{e^x}\right)$ $=\frac{\left(x^2-x{e}^x\right)e^x-(x^2-x{e}^x)\left(e^x\right)}{{\left(e^x\right)}^2}$ $f(x)=x^2-x\cdot e^x$ $f^{\prime }(x)=2x-(\left(x\right)e^x+(x)\left(e^x\right))$ $=2x-(1\cdot e^x+x\cdot e^x)$ $=2x-e^x-x{e}^x$ $h^{\prime }(x)=\frac{(2x-e^x-x{e}^x)e^x-(x^2-x{e}^x)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}$ Reduint $e^x$ a numerador i denominador tenim: $h^{\prime }(x)=\frac{(2x-e^x-x{e}^x)-(x^2-x{e}^x)}{\left(e^x\right)}$ $=\frac{2x-e^x-x{e}^x-x^2+x{e}^x}{e^x}$ $=\frac{2x-e^x-x^2}{e^x}$ Una forma diferent seria convertir-ho en una resta de la forma: $h^{\prime }(x)=(\frac{x^2}{e^x}-\frac{x{e}^x}{e^x})$ $=(\frac{x^2}{e^x}-x)$ $=\left(\frac{x^2}{e^x}\right)-1$ $=\frac{\left(x^2\right)e^x-(x^2)\left(e^x\right)}{{\left(e^x\right)}^2}-1$ $=\frac{2x\cdot e^x-(x^2)\cdot e^x}{{\left(e^x\right)}^2}-1$ $=\frac{2x-x^2}{e^x}-1$ Que finalment és el mateix que el que havia quedat abans, comproveu-lo.
9) $h(x)=\frac{x^2\ln x+\ln x}{(x-1)\ln x}$	10) $h(x)=\frac{2-\sqrt{2}+\pi }{1+x^2+x^3}$

Composició de funcions

Exercicis per aplicar la composició de funcions directament conegut com regla de la cadena.

$f(x)=$	$f{}^{\prime }(x)=$
$g(x)=$	$g{}^{\prime }(x)=$

$\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f{}^{\prime }(g(x))\cdot g{}^{\prime }(x)$

Exemples

1) $h(x)=e^{x+1}$

Esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició: $f(x)=e^{(x)}$ $f^{\prime }(x)=e^{(x)}$ $g(x)=x+1$ $g^{\prime }(x)=(x+1)=1$ $\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=e^{x+1}\cdot 1$

2) $h(x)=(3x^2-4{)}^2$

...

3) $h(x)=\frac{1}{x^2-x}$

...

4) $h(x)=\ln (x+1)$

...

5) $h(x)=\sqrt[3]{x+2}$

...

6) $h(x)=\sqrt[5]{e^x}$

...

7) $h(x)=\ln (\sqrt{x})$

...

8) $h(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$

...

9) $h(x)=\sqrt{\ln x+1}$

...

10) $h(x)=(3x^2-5x{)}^3$

Esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició: $f(x)=(x{)}^3$ $f^{\prime }(x)=3(x{)}^2$ $g(x)=3x^2-5x$ $g^{\prime }(x)=3\cdot 2\cdot x-5=6x-5$ $\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=3(3x^2-5x{)}^2(6x-5)$ Tutorial

Autoservei d'exercicis

A continuació es donen dues taules per servir-nos els nostres propis exercicis que volem practicar, recordant que hi ha eines online per resoldre'ls.

Funcions $f(x)$ i $g(x)$
		$f(x)$
		$P(x)$	$\sqrt[n]{x}$	$a^x$	${\log }_{a}x$
$g(x)$	$P(x)$	1,1	1,2	1,3	1,4
	$\sqrt[n]{x}$	2,1	2,2	2,3	2,4
	$a^x$	3,1	3,2	3,3	3,4
	${\log }_{a}x$	4,1	4,2	4,3	4,4

Desprès de decidir les funcions corresponents a f i g heu de escollir una de les operacions següents i derivar-la per practicar totes les possibles derivades existents, de fet es poden ajuntar moltes funcions i després derivar-les, però millor a poc a poc.

1.	$f(x)+g(x)$
2.	$f(x)\cdot g(x)$
3.	$\frac{f(x)}{g(x)}$
4.	$f\circ g(x)=f(g(x))$

Exemple:

1.- A la primera taula agafen el requadre 2,3 per tant pot ser $f(x)=\sqrt[3]{x}$ i $g(x)=e^x.$

Per tant si a la segona taula escollim el número 3, la nostra derivada a fer és:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)=\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right).$

2.- A la primera taula agafen el requadre 3,4 per tant pot ser $f(x)=2^x$ i $g(x)={\log }_{5}x.$

Per tant si a la segona taula escollim el número 4, la nostra derivada a fer és:

$\frac{d}{dx}\left(2^{{\log }_{5}x}\right)=\left(2^{{\log }_{5}x}\right).$