Exercicis Límits 01

Exercicis de límits ordenats segons el procediments preparat exclusivament per funcions.

Cal recordar que podeu fer servir eines per fer límits i comprovar la solució o inclús el procediment.

• Symbolab.

Resum de límits

Donada la funció $f(x)$ i un valors $a\in ℝ$ direm que:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$

és el límit de la funció $f(x)$ quan la seva $x$ s'apropa contínuament al valor $a$ i en direm $L.$

Notes:

• El valor $a$ no cal que sigui del domini sinó que almenys la $x$ es pugui apropar indefinidament.

• Si la $x$ s'acost amb valors $x<a$ direm que és el límit lateral:

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=L_1$

• Si la $x$ s'acost amb valors $a<x$ direm que és el límit lateral:

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L_2$

• Un límit sobre $x\in ℝ$ existeix, si i només si, $L_1=L_2$

• Si el valor $a$ està dins del domini, $a\in Dom(f),$ llavors segur que:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

Límits amb funcions elementals

Presentem els límits de funcions elementals quan ens apropem a la vora exterior del seu domini.

1) $f(x)=x^r$

Quan $0<r$ i $r\in ℝ$ tenim: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^r=+\mathrm{\infty }$ Quan $r<0$ i $r\in ℝ$ tenim: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^r=0^{+}$ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^r=+\mathrm{\infty }$ Quan $1⩽r$ i $r\in \mathbb{N}$ tenim: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^r=+\mathrm{\infty },rparell$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^r=-\mathrm{\infty },rimparell$ Quan $r=\frac{1}{q},1⩽q$ i $q\in \mathbb{N}$ tenim: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\frac{1}{q}}=Noespot,qparell$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\frac{1}{q}}=-\mathrm{\infty },rimparell$

Operacions de límits com a aplicació

Si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L_f$ i $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L_g$

• $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L_f+L_g$
• $\underset{x\to a}{\lim }(b\cdot f(x))=b\cdot \underset{x\to a}{\lim }f(x)=b\cdot L_f,b\in ℝ$
• $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)=L_f\cdot L_g$
• $\underset{x\to a}{\lim }\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}=\frac{L_f}{L_g}$
• $\underset{x\to a}{\lim }(f(x{)}^{g(x)})={\left(\underset{x\to a}{\lim }f(x)\right)}^{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}={\left(L_f\right)}^{L_g}$

Operacions amb límits de funcions

Taula sense indeterminacions, és a dir, que en vermell els límits no està decidit encara.

$L_f=$

$0$

$a\ne 0$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$L_g=$

$0$

$b\ne 0$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$0$

$b\ne 0$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$0$

$b\ne 0$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$0$

$b\ne 0$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$L_f+L_g$

$0$

$b$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$a$

$a+b$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$L_f\cdot L_g$

$0$

$0$

$0$

$a\cdot b$

$\pm \mathrm{\infty }$

$\pm \mathrm{\infty }$

$\pm \mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$\pm \mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$\frac{L_f}{L_g}$

$0$

$0$

$0$

$\pm \mathrm{\infty }$

$\frac{a}{b}$

$0$

$0$

$\pm \mathrm{\infty }$

$\pm \mathrm{\infty }$

$\pm \mathrm{\infty }$

$\pm \mathrm{\infty }$

$L_f=$

$0^{+}$

$0<a<1$

$1$

$1<a$

$+\mathrm{\infty }$

$L_g=$

$-\mathrm{\infty }$

$b<0$

$0$

$0<b$

$+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$b$

$+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$b<0$

$0$

$0<b$

$+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$b$

$+\mathrm{\infty }$

$-\mathrm{\infty }$

$b<0$

$0$

$0<b$

$+\mathrm{\infty }$

${L_f}^{L_g}$

$+\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

$0$

$0$

$+\mathrm{\infty }$

$a^b$

$0$

$1$

$1$

$1$

$0$

$a^b$

$+\mathrm{\infty }$

$0$

$0$

$+\mathrm{\infty }$

$+\mathrm{\infty }$

Límits amb propietats bàsiques

1) Càlcul de límits si $f(x)=x.$
	$a)\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to 0}{\lim }x=0,$ també es pot dir que el límit és zero per substitució ja que $f(0)=0.$
	$b)\underset{x\to r}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to r}{\lim }x=r,$ també es pot dir que el límit és r per substitució ja que $f(r)=r.$
	$c)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x=-\mathrm{\infty },$ pràcticament per definició de $x.$
	$d)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x=+\mathrm{\infty },$ pràcticament per definició de $x.$

2) Càlcul de límits si $f(x)=3,$ anomenada funció constant.
	$a)\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to 0}{\lim }3=3,$ també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que $f(0)=3.$
	$b)\underset{x\to r}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to r}{\lim }3=3,$ també es pot dir que el límit és 3 per substitució ja que $f(r)=3.$
	$c)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }3=3.$
	$d)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }3=3.$

3) Càlcul de límits si $f(x)=x^2-1.$
	$a)\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to 2}{\lim }(x^2-1)=2^2-1.$
	$b)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2-1)$ $=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot x-1)$ $=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot x)-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(1)$ $=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x)\cdot \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x)-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(1)$ $=(-\mathrm{\infty })\cdot (-\mathrm{\infty })-1$ $=+\mathrm{\infty }-1=+\mathrm{\infty }.$
	$c)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^2-1)$ $=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot x-1)$ $=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot x)-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1)$ $=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x)\cdot \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x)-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(1)$ $=(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })-1$ $=+\mathrm{\infty }-1=+\mathrm{\infty }.$

4) Càlcul de límits si $f(x)=5\cdot \sqrt{x}.$
	$a)\underset{x\to 4}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to 4}{\lim }(5\cdot \sqrt{x})=5\cdot \sqrt{4}=5\cdot 2=10.$
	$b)\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to 0}{\lim }(5\cdot \sqrt{x})=5\cdot \sqrt{0}=5\cdot 0=0.$
	$c)\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(5\cdot \sqrt{x}),$ no és possible que $x$ prengui valors negatius, ja que $Dom(f)=[0,+\mathrm{\infty })$
	$d)\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(5\cdot \sqrt{x})$ $=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(5)\cdot \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\left(\sqrt{x}\right)$ $=5\cdot (+\mathrm{\infty })$ $=+\mathrm{\infty }.$

Exercicis

1) Càlcul de operacions entre límits.

a) $+\mathrm{\infty }\cdot (-4)=$