Equacions Bat

Introducció

Orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes següents d'inequacions a programació, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització.

Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria.

Equacions per tipus

Equacions irracionals

Les equacions irracionals són les que tenen la incògnita x dins l'arrel, al radicand.

$\sqrt{x+1}=x$

Exemples a estudiar:

1) $\sqrt{x^2+1}=2x$

Resolució i comprovació

${\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^2=(2x{)}^2$ $\Rightarrow x^2+1=2^2{x}^2$ $\Rightarrow 1=4x^2-x^2$ $\Rightarrow 1=3x^2$ $\Rightarrow \frac{1}{3}=x^2$

$x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)?$ $\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ sí és correcte.

$x_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{{(-\frac{\sqrt{3}}{3})}^2+1}=2(-\frac{\sqrt{3}}{3})?$ $\Rightarrow \sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu.

2) $\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1$

Resolució i comprovació

${(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2})}^2=(-1{)}^2$ $\Rightarrow {\sqrt{x-1}}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+{\sqrt{x+2}}^2=1$ $\Rightarrow x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1$ $\Rightarrow -2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2$ $\Rightarrow -2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x$ $\Rightarrow \sqrt{(x-1)(x+2)}=x$ $\Rightarrow {\sqrt{(x-1)(x+2)}}^2=x^2$ $\Rightarrow (x-1)(x+2)=x^2$ $\Rightarrow x^2+x-2=x^2$ $\Rightarrow \cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}$ $\Rightarrow x-2=0$ $\Rightarrow x=2$

$\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1?$ $\Rightarrow 1-2=-1$ $\Rightarrow -1=-1$ sí és correcte.

3) $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8}$

Resolució i comprovació

${(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})}^2={\sqrt{x+8}}^2$ $\Rightarrow x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8$ $\Rightarrow 2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3$ $\Rightarrow 2\sqrt{x^2+3x}=5-x$ $\Rightarrow {\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)}^2=(5-x{)}^2$ $\Rightarrow 2^2{\sqrt{x^2+3x}}^2=25-10x+x^2$ $\Rightarrow 4(x^2+3x)=25-10x+x^2$ $\Rightarrow 4x^2+12x=25-10x+x^2$ $\Rightarrow 4x^2+12x-25+10x-x^2=0$ $\Rightarrow 3x^2+22x-25=0$

$x_1=1$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?$ $\Rightarrow 1+2=3$ $\Rightarrow 3=3$ sí és correcte.

$x_2=-\frac{25}{3}$ $\Rightarrow \text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?$ no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu.

4) $\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}$

Resolució i comprovació

${(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}^2={\sqrt{2x^2+1}}^2$ $\Rightarrow x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1$ $\Rightarrow 2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1$ $\Rightarrow {\left(2\sqrt{1-x^2)}\right)}^2={((2x^2-1)}^2$ $\Rightarrow 4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1$ $\Rightarrow 4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1$ $\Rightarrow 4=4x^4+1$ $\Rightarrow 3=4x^4$ $\Rightarrow \frac{3}{4}=x^4$ $\Rightarrow \pm \sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x$

En aquest cas fem la comprovació amb $x=\pm 0,930605$ i surt:

$x_1=0,930605$ $\Rightarrow 1,652892=1,652892$ sí és correcte.

$x_2=-0,930605$ $\Rightarrow 1,652892=1,652892$ sí és correcte.