Biễu diễn một mặt phẳng qua ba điểm

Cho

p1=(x1, y1, z1)

p2=(x2, y2, z2)

p3=(x3, y3, z3)

Phương pháp 1

Các mặt phẳng đi qua p₁, p₂, và p₃ có thể được mô tả như là tập tất cả các điểm (x,y,z) thỏa mãn phương trình định thức sau đây:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x-x_2& y-y_2& z-z_2\\ x-x_3& y-y_3& z-z_3\end{array}\right|=0.$

Phương pháp 2

Để biểu diễn mặt phẳng bằng một phương trình có dạng $ax+by+cz+d=0$, cần giải các hệ phương trình sau:

$a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d=0$

$a{x}_2+b{y}_2+c{z}_2+d=0$

$a{x}_3+b{y}_3+c{z}_3+d=0.$

Hệ có thể được giải quyết bằng định lý Cramer và các thao tác biến đổi cơ bản của ma trận. Đặt

$D=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$.

Nếu D khác không (để cho các mặt phẳng không qua gốc tọa) các giá trị của a, b và c có thể được tính như sau:

$a=\frac{-d}{D}\left|\begin{array}{ccc}1& y_1& z_1\\ 1& y_2& z_2\\ 1& y_3& z_3\end{array}\right|$

$b=\frac{-d}{D}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& 1& z_1\\ x_2& 1& z_2\\ x_3& 1& z_3\end{array}\right|$

$c=\frac{-d}{D}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|.$

Những phương trình này có tham số là d. Đặt d bằng với số khác không và thế nó vào các phương trình này sẽ có một tập nghiệm.

Phương pháp 3

Mặt phẳng này cũng có thể được biểu diễn bằng "điểm và một vector pháp tuyến" quy định ở trên. Cho một vector pháp tuyến phù hợp bằng tích vector

$𝐧=({𝐩}_2-{𝐩}_1)\times ({𝐩}_3-{𝐩}_1),$