קבוצת החזקה

שעור שביעי - קבוצת החזקה

הגדרה. תהי $A$ קבוצה. קבוצת החזקה של $A$ היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של $A$. את קבוצת החזקה של $A$ מסמנים ב-$P(A)$.

כלומר, קבוצה $x$ שייכת ל-$P(A)$, אם ורק אם $x\subseteq A$. מכיוון שהקבוצה $A$ תמיד מוכלת בעצמה, $A\in P(A)$. גם הקבוצה הריקה מוכלת ב-$A$, ולכן $\mathrm{\varnothing }\in P(A)$.

דוגמא. האברים בקבוצת החזקה של $\{1,2\}$ הם הקבוצות $\mathrm{\varnothing },\{1\},\{2\},\{1,2\}$.

תרגיל. קבוצת החזקה של כל קבוצה $A$ מכילה את $A$ ואת הקבוצה הריקה. מצא דוגמה נגדית לטענה (השגויה) "בכל קבוצת חזקה יש לפחות שני אברים".

תרגיל. כתוב את כל האברים של $P(\{1,2,3\})$.

תרגיל. קבע האם $\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$ הוא איבר בקבוצת החזקה $P(\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}\})$.

תרגיל. הוכח (באינדוקציה) שאם בקבוצה $A$ יש בדיוק $n$ אברים שונים, אז בקבוצה $P(A)$ יש $2^n$ אברים שונים.

תרגיל. אם $A\subseteq B$ אז $P(A)\subseteq P(B)$.

תרגיל. א. הוכח או הפרך: $P(A\cup B)=P(A)\cup P(B)$. ב. הוכח או הפרך: $P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)$.

<< השיעור הקודם - משלים וחוקי דה-מורגן

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - זוגות סדורים >>