הרכבת פונקציות

שעור אחד-עשר - הרכבת פונקציות

אם g היא הפונקציה המתאימה לכל בעל מכונית את המכונית הראשונה שלו, ו- f הפונקציה המתאימה לכל מכונית את נפח המנוע שלה, יהיה נוח להמציא פונקציה חדשה, המתאימה לכל בעל מכונית את נפח המנוע של המכונית הראשונה שלו, ולתאר אותה באמצעות הפונקציות g ו-f. אכן, לפי הסימון המקובל, המכונית של בעל מכונית x היא $g(x)$, ונפח המנוע שלה הוא $f(g(x))$. לפונקציה המוגדרת באופן כזה קוראים הרכבת הפונקציות f ו-g, ומסמנים אותה בסימון $f\circ g$ (שימו לב לסדר הפונקציות בהרכבה).

הגדרה. אם A,B,C קבוצות ו- $f:B\to C$ ו- $g:A\to B$ הן פונקציות, אז $f\circ g:A\to C$ היא הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. בשפת תורת הקבוצות, הזוג הסדור $(a,c)\in A\times C$ שייך ל- $f\circ g$ אם ורק אם קיים $b\in B$ כך ש- $(a,b)\in g$ ו- $(b,c)\in f$.

טענה. בתנאי ההגדרה, ההרכבה היא אכן פונקציה מ-A ל-C.

הוכחה. יהי $a\in A$. עלינו להוכיח שקיים $c\in C$ יחיד כך ש- $(a,c)\in f\circ g$; כלומר, שקיים c יחיד שעבורו קיים b כך ש- $(a,b)\in g$ ו- $(b,c)\in f$; אבל מכיוון ש-g פונקציה, קיים $b\in B$ יחיד כך ש- $(a,b)\in g$, ועבור אותו b, מכיוון ש-f פונקציה, קיים c יחיד כך ש- $(b,c)\in f$.

הערה. אם נתונות פונקציות $g:A\to B,f:B^{\prime }\to C$, הגדרנו את ההרכבה $f\circ g$ רק בהנחה ש- $B^{\prime }=B$; עם זאת, לפי הערה קודמת על הרחבת טווח הפונקציה, מספיק להניח ש- $B\subseteq B^{\prime }$.

הרכבת פונקציות מקיימת את תכונת האסוציאטיביות:

הערה. אם $h:A\to B,g:B\to C,f:C\to D$ הן פונקציות, אז $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ (הסוגריים מציינים, כרגיל, את סדר הפעולות).

תרגיל. אם f,g פונקציות חד-חד-ערכיות וההרכבה ביניהן מוגדרת, אז היא חד-חד-ערכית.

תרגיל. הוכח או הפרך: אם ההרכבה $f\circ g$ היא חד-חד-ערכית, אז שתי הפונקציות f,g הן חד-חד-ערכיות.

הפונקציה ההפוכה

הגדרנו פונקציה $f:A\to B$ כאוסף של זוגות סדורים במכפלה $A\times B$. ההגדרה הזו מאפשרת "להפוך" את הפונקציה באופן טבעי - נוכל להגדיר את $f^{-1}$ כקבוצת כל הזוגות הסדורים ההפוכים לאלו הנמצאים ב-f, כלומר $f^{-1}=\{(b,a):(a,b)\in f\}$. התוצאה היא תת-קבוצה של המכפלה $B\times A$, וזה מעלה את השאלה מתי מתקבלת באופן הזה פונקציה מ-B ל-A.

טענה. תהי $f:A\to B$ פונקציה. הקבוצה $f^{-1}$ היא פונקציה מ-B ל-A אם ורק אם f חד-חד-ערכית ועל.

הוכחה. $f^{-1}$ היא פונקציה אם לכל b קיים a יחיד כך ש- $(b,a)\in f^{-1}$; כלומר, לכל b קיים a יחיד כך ש- $(a,b)\in f$; כלומר, לכל b קיים a יחיד כך ש- $f(a)=b$. הדרישה ש-a כזה קיים שקולה לכך ש-f על, והיחידות שקולה לכך ש-f חד-חד-ערכית.

לסיכום, אפשר להפוך פונקציה (ולקבל, בתמורה, פונקציה הפוכה) בדיוק כאשר היא חד-חד-ערכית ועל. כבונוס, אנו מקבלים משהו נוסף:

טענה. אם $f:A\to B$ היא חד-חד-ערכית ועל, אז הפונקציה ההפוכה $f^{-1}:B\to A$ גם היא חד-חד-ערכית ועל.

הוכחה. כדי ש-$f^{-1}$ תהיה חד-חד-ערכית ועל, נדרש שלכל a יהיה b יחיד כך ש- $f^{-1}(b)=a$, כלומר $(b,a)\in f^{-1}$ או $(a,b)\in f$; אבל תכונה זו מתקיימת מכיוון ש-f פונקציה.

טענה. אם $f:A\to B$ פונקציה חד-חד-ערכית ועל, אז ההרכבה $f^{-1}\circ f$ היא פונקציית הזהות של A, ואילו $f\circ f^{-1}=i{d}_B$.

הוכחה. לכל $a\in A$ קיים $b\in B$ (יחיד, אבל כרגע אין בזה צורך) כך ש- $(a,b)\in f$. לפי הגדרת הפונקציה ההפוכה, $(b,a)\in f^{-1}$, ולפי ההגדרה של הרכבת פונקציות נובע מכאן ש- $(a,a)\in f^{-1}\circ f$. לכן ההרכבה מכילה את פונקציית הזהות, ומכאן שהיא שווה לה. באשר לכיוון ההפוך, שימו לב שמן ההגדרה נובע מיד ש- $(f^{-1}{)}^{-1}=f$, ולכן די להפעיל את החלק שהוכחנו על הפונקציה $f^{-1}:B\to A$.

<< השיעור הקודם - פונקציות

דף הקורס - תורת הקבוצות

השיעור הבא - עוצמה של קבוצה >>