Àlgebra i geometria IV

En aquesta secció farem primerament un paral·lelisme típic de la geometria i l'àlgebra.

En temps del Grecs només entenien multiplicació com a rectangle i així van arribar de fer un volum de feina enorme. En l'actualitat la introducció purament sintàctica del àlgebra millora i facilita l'ús de les fórmules més complexes.

Veiem primer la més senzilla:

Àrees de rectangles amb la mateixa altura

Mirant l'àrea es veu clarament la propietat distributiva, és a dir, distribueix l'alçada $a$ per a cada terme de la suma.

$A=a\cdot (b+c+d+e)=a\cdot b+a\cdot c+a\cdot d+a\cdot e$

Àrees de triangles amb la mateixa altura

Mirant l'àrea es veu clarament la propietat distributiva, és a dir, distribueix l'alçada $a,$ per a cada terme de la suma

$A=\frac{a\cdot (b+c+d+e)}{2}=\frac{a\cdot b}{2}+\frac{a\cdot c}{2}+\frac{a\cdot d}{2}+\frac{a\cdot e}{2}$

Quadrat d'una suma

Mirant l'àrea es veu clarament cada terme que surt de fer el quadrat d'una suma:

$(x+a{)}^2=x^2+2ax+a^2$

Solució:

Es pot provar amb la propietat distributiva, on el primer parèntesis es distribueix dintre del segon parèntesis quedant: $(x+a{)}^2=(x+a)\cdot (x+a)$ $=(x+a)\cdot x+(x+a)a$ $=x^2+a\cdot x+x\cdot a+a^2$ $=x^2+2ax+a^2$

Quadrat d'una diferencia

Mirant l'àrea de $x^2$ i visualitzant $(x-a{)}^2$, veiem que de fet aquest quadradet s'obté sumant $x^2+a^2$ i després restant els rectangles associats a les parts dividides amb punts.

$(x-a{)}^2=x^2-2ax+a^2$

Solució:

Producte de suma per diferencia

Vegem ara com es fa el producte següent:

$(x-a)\cdot (x+a)=x^2-a^2$

Solució:

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO