Obyčajné differenciálne rovnice/Iteračná Picardova-Lindelöfova metóda

2.1 Picard-Lindelöf iterácie

Existencia Uvod2 (1.6) sa skúma pomocou skr takzvanej Volterrovej integrálnej rovnice. Tú získame integrovaním skm Uvod4 (1.6) vzhľadom na $t$, $y(t)=y(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))ds.$ $(2.1)$

Pre spojitú funkciu $f$ je pravá strana skr Volterrovej integrálnej rovnice spojito diferencovateľná, takže Uvod2 $y(t)$ je tiež spojito diferencovateľná, ako bolo uvedené vyššie (ak existuje). V nasledujúcomskn budemeskn najprv len preskrn, že Uvod2 $y(t)$ je spojitá funkcia a že táto je v priestore $C[a,b]$ ( priestor všetkých spojitých funkcií z intervalu $[a,b]$ do $$ ). Vďaka spojitej diferencovateľnosti skr pravej strany (2.1) tiež platí, že $y\in C^1[a,b]$ ($y$ je spojito diferencovateľná).

Da rovnica (2.1) je prípadne nelineárna v $y$ (to závisí od skr funkcie $f$), hľadá sa Uvod2 $y$ iteračne pomocou nasledujúcejskr iterácie: $\begin{array}{ccc}{y}^{n+1}(t)& =& y(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y^n(s))ds,n=0,1,2,\dots ,\end{array}$ $\begin{array}{ccc}{y}^0(t)& =& y(t_0)=y_0\text{(beispielsweise).}\end{array}$$(2.2)$

Tento iteračný postup sa nazýva aj Picard-Linsklöfova iterácia. Umením analyzovať konvergenciu tohto postupu prepíšeme (2. 2) um, $y^{n+1}(t)=G(y^n(t)),G(z(t)):=y(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,z(s))ds,y^0(t)=y_0,$ $(2.3)$

kde $G$ je mapovanie medzi spojitými funkciami na $[a,b]\to {ℝ}^m$, $G:C[a,b]\to C[a,b]$. Existencia Uvod2 (2.1) je ekvivalentná skr existencii pevného bodu skr mapovania $G$, $z^{\star }=G(z^{\star })$. Existenciu pevného bodu, ako aj konvergenciu pre (2.3) a (2.2) dokážeme pomocou sk Banachovej vety o pevnom bode.

2.1.1 Banachova veta o pevnom bode

Aby sme mohli formulovať Súbor pevných bodov Banachovu vetu o pevnom bode, najprv si osviežime niektoré základy z Grundlagen funkcionálnej analýzy.

---

'Definícia 2.1 (Banachov priestor)

'Banachov priestor $(X,\Vert \cdot \Vert )$ je lineárny normalizovaný vektorový priestor (s vektorovou normou skr $\Vert \cdot \Vert$), skr je úplný.

---

''Definícia 2.2 (vektorový priestor)

Norma vektora je spojité mapovanie $:\Vert \cdot \Vert :V\to ℝ$, ($V\subset {ℝ}^n$ je vektorový priestor) s vlastnosťami skn

1. $\Vert x\Vert >0\mathrm{\forall }x\in V\setminus \{0\}$ (Positivheit)
2. $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert \mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,\mathrm{\forall }x\in V$ (Homogenität)
3. $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert \mathrm{\forall }x,y\in V$ (Dreiecksungleichung oskr Subaditivität).

---

Trojuholníkovú nerovnosť možno ľahko zovšeobecniť (pomocou matematickej indukcie vzhľadom na skr číslo skr Summanskn) na konečný súčet, $$\Vert \sum _{i=1}^n{x}_i\Vert \le \sum _{i=1}^n\Vert x_i\Vert .$$

Jednoduchým príkladom Banachovho priestoru je vektorový priestor skr ${ℝ}^n$ vybavený vektorovými normami skr nasledujúcimiskn.

• Euklidov štandard $$\Vert x{\Vert }_2:={\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)}^{1/2}$$
• Štandardná suma $$\Vert x{\Vert }_1:=\sum _{i=1}^n|x_i|$$
• Maximálny štandard $$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{i=1,\dots ,n}{\max }|x_i|$$

Folgensks lema poskytuje analógiu k zovšeobecnenej trojuholníkovej nerovnosti skr norma.

---

'Lema 2.1

Nech $y\in C[a,b]$ a $\Vert \cdot {\Vert }_{{ℝ}^n}$ je ľubovoľná norma na ${ℝ}^n$. Potom platí $\Vert \underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)dt{\Vert }_{{ℝ}^n}\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert y(t){\Vert }_{{ℝ}^n}dt.$$(2.4)$

Nech $\{t_i{\}}_{i=0}^N,$ $t_0=a,t_N=b$ je rozklad Demontáž intervalu $[a,b]$. Potom konečný súčet ${\sum }_{i=1}^{N}y(t_i)(t_i-t_{i-1})$ konverguje voči ${\int }_a^{b}y(t)dt$ pre $N\to \mathrm{\infty }$. Keďže norma je spojité zobrazenie, dostaneme $${\Vert \underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)dt-\sum _{i=1}^{N}y(t_i)(t_i-t_{i-1})\Vert }_{{ℝ}^n}\le \frac{\epsilon }{2}$$

pre dostatočne veľké $N$ a nakoniec

${\Vert \underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)dt\Vert }_{{ℝ}^n}\le \frac{\epsilon }{2}+{\Vert \sum _{i=1}^{N}y(t_i)(t_i-t_{i-1})\Vert }_{{ℝ}^n}.$ $(2.5)$

podobne, z endliche Summe konvergencie Integral konečného súčtu voči integrálu dostaneme $$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert y(t){\Vert }_{{ℝ}^n}dt-\sum _{i=1}^N\Vert y(t_i){\Vert }_{{ℝ}^n}(t_i-t_{i-1})|\le \frac{\epsilon }{2},$$

a nasledujúce $|\sum _{i=1}^N\Vert y(t_i){\Vert }_{{ℝ}^n}(t_i-t_{i-1})|\le \frac{\epsilon }{2}+|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert y(t){\Vert }_{{ℝ}^n}dt|.$ $(2.6)$

Teraz z (2.5) pomocou skr zovšeobecnenej trojuholníkovej nerovnosti a (2.6) vyplýva, že $${\Vert \underset{a}{\overset{b}{\int }}y(t)dt\Vert }_{{ℝ}^n}\le \epsilon +|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert y(t){\Vert }_{{ℝ}^n}dt|,$$

a nakoniec s $\epsilon \to 0$ výrok sks Lemmy. ◻

Ďalším príkladom Banachovho priestoru je skr priestor $C[a,b]$ skr spojitých funkcií $y:[a,b]\to {ℝ}^n$. Normu na $C[a,b]$ skdefinujeme ako maximálnu normu: $$\Vert y(t){\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{t\in [a,b]}{\max }\Vert y(t){\Vert }_{{ℝ}^n},$$ kde $\Vert \cdot {\Vert }_{{ℝ}^n}$ je ľubovoľná vektorová norma v ${ℝ}^n$, pozri vyššie.

Teraz uvažujeme mapovanie $F:X\to X$, $X$ Banachov priestor, a sledujemesk rovnicu pevného bodu: Finsk a $x\in X$ s $$x=F(x).$$

Lösung tejto rovnice možno nájsť pomocou nasledujúceho iteračného prístupuskmskn. Sei $x^0$ gegeben, $$x^{k+1}=F(x^k)\text{für}k=0,1,\dots .$$

Konvergencia tejto iterácie a následne riešiteľnosť skr rovnice pevného bodu je zaručená nasledujúcouskr vetou.

---

Nastavenie 2.1 (Banachova veta o pevnom bode)

'Nech $(X,\Vert \cdot \Vert )$ je Banachov priestor a $K\subset X$ uzavretá množina v $X$. Sei ferner $F:X\to K$ eine Abbildung mit

1. $F(K)\subset K$, d.h. $K$ sa mapuje do sebasknd,
2. $F$ je kontrakcia, t. j. existuje konštanta $q\in (0,1)$ s
   

$\Vert F(x)-F(y)\Vert \le q\Vert x-y\Vert \mathrm{\forall }x,y,\in K$.

Potom $F$ má presne jeden pevný bod v $K$, iteračná postupnosť (2. 7) konverguje voči Uvod2 $x^{\star }$ z $x^{\star }=F(x^{\star })$ a platia nasledujúcesk odhady: $$\begin{array}{ccc}\Vert x^{\star }-F(x^k)\Vert & \le & \frac{q}{1-q}\Vert x^k-F(x^k)\Vert \text{( aposteriórny odhad)}\\ \Vert x^{\star }-F(x^k)\Vert & \le & \frac{q^{k+1}}{1-q}\Vert x^0-x^1\Vert \text{((apriórny odhad)}.\end{array}$$

---

Dôkaz.

Dôkaz skBanachovej vety o pevnom bode možno nájsť napríklad v M. Ružička: Nelineárne Functional Analysis, Theorem 1.5, finskn. ◻

Teraz sa ukáže konvergencia skr Piccard-Linsklöfovej iterácie (2.2) pomocou sks Banachovej vety o pevnom bode, čím sa dokáže existencia jedinej Uvod2 skr Volterrovej integrálnej rovnice (2.1). V nasledujúcomskn je zrejmé, že podmienky sks Banachovej vety o pevnom bode sú splnené len v určitom okolí počiatočnej hodnoty $(t_0,y_0)$, a teda je dokázaná "len" lokálna existencia a jednoznačnosť skr Uvod2. Pre $0<\delta <\mathrm{\infty },0<\beta \le \mathrm{\infty }$ sk definujeme $$S_{\delta ,\beta }=\{(t,y);t_0\le t\le t_0+\delta ,y_0-\beta \le y\le y+\beta \},$$

Pozri obrázok 2.1. Teraz sformulujeme existenčnú vetu skn pre Uvod4 (1.6).

---

''Satz 2.2 ("Lokálna existencia a jednoznačnosť Uvod2 Uvod2 skr Uvod4")

Predpoklad $f\in C(S_{\delta ,\beta })$ a platí aj nasledujúce

1. $f$ je rovnomerne Lipschitzovo spojité v $S_{\delta ,\beta }$ vzhľadom na $y$, t. j. es existuje konštanta $0<L<\mathrm{\infty }$, takže $\mathrm{\forall }(t,y_1),\mathrm{\forall }(t,y_2)\in S_{\delta ,\beta }$ gilt $$|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\le L|y_1-y_2|,$$
2. für $\beta <\mathrm{\infty }$ je $\delta M\le \beta ,$ kde $M:=\underset{(t,y)\in S_{\delta ,\beta }}{\max }|f(t,y)|$.

Potom existuje jedinečná skutige Uvod2 $y\in C^1[t_0,t_0+\delta ]$ skr Uvod4 $y^{\prime }=f(t,y)$ a iterácia (2. 2) konverguje k $[t_0,t_0+\delta ]$ rovnomerne voči $y$ za predpokladu $|y^0(t)-y_0|\le \beta$, $y_0=y(t_0)$.

---

Dôkaz.

Označíme $J_{\delta }:=[t_0,t_0+\delta ]$ a považujeme $w:J_{\delta }\to {ℝ}^{+}$ za spojité. V priestore skr spojité funkcie na $J_{\delta }$ skdefinujeme normu ako váženú normu $$\Vert z\Vert :=\Vert w\cdot z{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in J_{\delta }}{\max }|w(t)\cdot z(t)|.$$

Priestor všetkých spojitých funkcií na $J_{\delta }$, vybavený vyššie uvedenou váženou maximálnou normou, je Banachov priestor $(C(J_{\delta }),\Vert \cdot \Vert )$.

Ďalej skpre $\beta <\mathrm{\infty }$ definujeme uzavretú sféru $$B_{t_0,\beta }:=\{z\in C(J_{\delta })\text{mit}|z(t)-y_0|\le \beta \mathrm{\forall }t\in J_{\delta }\}$$

(Pre $\beta =\mathrm{\infty }$ sk definujeme $B_{t_0,\beta }=C(J_{\delta })$).

Najprv dokážeme, že mapovanie $G$ skv (2.3) mapuje sféru $B_{t_0,\beta }$ na seba samu, t. j. $G(B_{t_0,\beta })\subset B_{t_0,\beta }.$ Zvolíme si $z\in B_{t_0,\beta }$ a skúmame, či $G(z(t)\in B_{t_0,\beta }$ pre všetky $t\in J_{\delta }$. Pomocou (2.3) a (2.4) dostaneme $$|G(z(t))-y_0|\le \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|f(s,y(s))|ds\le \delta M.$$

Ak $\delta M\le \beta$ platí $\beta <\mathrm{\infty }$, potom $G(z(t))\in B_{t_0,\beta }$. Ak $\beta =\mathrm{\infty }$, je splnená aj podmienka $\delta M\le \beta$. Celkovo pre všetky $0<\beta \le \mathrm{\infty }$ vyplýva, že $G(B_{t_0,\beta })\subset B_{t_0,\beta }.$math>).

Ďalej ukážeme, že $G$ je kontrahovanésk mapovanie vzhľadom na skr maximálnou normou $\Vert \cdot \Vert$. Pomocou (2.3) a skr Lipschitzovej spojitosti $f(t,y)$ vzhľadom na $y$ dostaneme $$\begin{array}{c}\Vert G(y)-G(v)\Vert =\Vert \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,y(s))-f(s,v(s))ds\Vert \le L\Vert \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|y(s)-v(s)|ds\Vert .\end{array}$$

Teraz wenskn použijeme definíciu normy skr a dostaneme z vyššie uvedeného $$\begin{array}{ccc}\Vert G(y)-G(v)\Vert & \le & L\underset{t\in J_{\delta }}{\max }(w(t)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}|y(s)-v(s)|ds)\\ & =& L\underset{t\in J_{\delta }}{\max }(w(t)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\underset{\le \Vert y-v\Vert }{\underbrace{|y(s)-v(s)|w(s)}}\frac{1}{w(s)}ds)\le \Vert y-v\Vert \phi (w),\end{array}$$

kde $$\phi (w):=L\underset{t\in J_{\delta }}{\max }(w(t)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w(s)}ds).$$

Pri vhodnej voľbe váhovej funkcie skr $w$, $\phi (w)<1$ a tým sa mapovanie $G$ stáva kontrakčným. Najjednoduchšia voľba $w(t)=1$ vedie k $\phi (w)=L\underset{t\in J_{\delta }}{\max }(t-t_0)=L\delta .$ V tomto prípade je mapovanie $G$ kontrakčné pre $\delta <\frac{1}{L}$. To by všaksk ukladalo ďalšiu podmienku na $\delta$ (okrem ii)). Výhodnejšia voľba skr váhovej funkcie je $w(t)=e^{-L(t-t_0)}$. V tomto prípade platí $$\begin{array}{cc}\phi (w)& =L\underset{t\in J_{\delta }}{\max }{e}^{-L(t-t_0)}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{L(s-t_0)}ds=\underset{t\in J_{\delta }}{\max }{e}^{-L(t-t_0)}[e^{L(t-t_0)}-1]\\ & =\underset{t\in J_{\delta }}{\max }(1-e^{-L(t-t_0)})\le 1-e^{-\delta L},\end{array}$$

nd a nakoniec $\phi (w(t))<1$ pre všetky $t\in J_{\delta }$. To znamená, že mapovanie $G$ je kontrakčné. Aus skm Banachovej vety o pevnom bode vyplýva existencia a jednoznačnosť skr Uvod2 skr rovnice pevného bodu $z=G(z)$, resp. skr Volterra'schen Integralgleichung (2.1), ako aj konvergenciu skr iterácie (2.2). ◻

Poznámky

1. Uvedený dôkaz možno podobne aplikovať na interval $J_{-\delta }:=[t_0-\delta ,t_0]$ takto pomocou sks Banachovej vety o pevnom bode dostaneme celkovú lokálnu existenciu a jednoznačnosť na $[t_0-\delta ,t_0+\delta ]$ s $M:=\underset{(t,y)\in S_{\delta ,\beta }}{\max }|f(t,y)|$, $\delta M\le \beta$.
2. Ak $\beta =\mathrm{\infty }$ (t. j. $f$ je globálne Lipschitzovo spojité), podmienku $[a,b]\times ℝ$ (potrebnú pre vlastnosť "mapovanie do seba") môžeme vynechať. Potom získate globálnu existenciu a jednoznačnosť skr skr Uvod2 skr Uvod4 (1.6) na $(t_0,y_0)\in [a,b]\times ℝ$.

1. Ak $f$ je iba spojitý, platí Schauskr veta o pevnom bode existenciu Uvod2, ale nie jednoznačnosť a žiadne tvrdenie o konvergencii skr iterácie (2.2). Tento výsledok existencie je známy ako skr Peanova veta.
2. Dôkaz vety 2.2 možno aplikovať na systémy (1. 7), $m>1$, nahradením súčtov $|\cdot |$ normou $\Vert \cdot {\Vert }_{{ℝ}^m}$ v ${ℝ}^m$.

1. Teoreticky možno použiť Piccard-Linsklöf iteráciu (2.2) na výpočet aproximácie skr Uvod2, vskm, ktorá sa po niekoľkých iteráciách zruší, pozri príklady 1.2, 1.3 (kapitola 1). Integrály na pravej strane skr možno nahradiť numericky pomocou kvadratúrnych vzorcov; tento prístup sa nazýva "konečná Piccardova iterácia". V opačnom prípade sa tieto integrály musia vypočítať presne, čo je možné, ale menej praktické. Cieľom prednášky je zostrojiť také numerické metódy, ktoré sa dajú použiť v dostatočnom počte bodov $t_i$ medzi $t_0$ a $t_0+T$, $i=1,\dots ,N$ poskytujú aproximácie ${\eta }_i\approx y(t_i)$ bez väčšej námahy.

''Príklad 2.1

Uvažujme lineárny systém obyčajných sk5 $$y^{\prime }=A(t)y(t)+b(t),$$

kde $A:[a,b]\to {ℝ}^{m\times m}$ je daná spojitá maticová funkcia a $b:[a,b]\to {ℝ}^m$ je daná vektorová funkcia.

Teraz overíme Lipschitzovu spojitosť skr pravej strany vzhľadom na skr ${ℝ}^m$ normu. $$\begin{array}{c}\Vert f(t,y_1)-f(t,y_2){\Vert }_{{ℝ}^m}=\Vert A(t)(y_1-y_2){\Vert }_{{ℝ}^m}\le \Vert A(t)\Vert \Vert y_1-y_2{\Vert }_{{ℝ}^m}.\end{array}$$

Posledná nerovnosť vychádza z vlastnosti skr maticovej normy $\Vert A\Vert$, skr kompatibilita skr maticovej normy s vektorovou normou $\Vert \cdot {\Vert }_{{ℝ}^m}$: $$\Vert Ay{\Vert }_{{ℝ}^m}\le \Vert A|\cdot \Vert y{\Vert }_{{ℝ}^m},$$

kde maticová norma je definovaná (indukovaná) vektorovou normou ako $$|A\Vert :=\underset{\Vert x{\Vert }_{{ℝ}^m}=1}{\max }\Vert Ax{\Vert }_{{ℝ}^m}$$ sk.

Konkrétne pre $x\in {ℝ}^m$ s $\Vert x{\Vert }_{{ℝ}^m}=1$, ist $$\Vert Ax{\Vert }_{{ℝ}^m}=\Vert A\frac{y}{\Vert y{\Vert }_{{ℝ}^m}}{\Vert }_{{ℝ}^m}=\frac{\Vert Ay{\Vert }_{{ℝ}^m}}{\Vert y{\Vert }_{{ℝ}^m}}\le \underset{x=y/\Vert y{\Vert }_{{ℝ}^m}}{\max }\Vert Ax{\Vert }_{{ℝ}^m}\stackrel{skf}{=}\Vert A\Vert .$$

To znamená, že kompatibilita maticovej normy skr s vektorovou normou skr $\Vert Ay{\Vert }_{{ℝ}^m}\le \Vert A\Vert \cdot \Vert y{\Vert }_{{ℝ}^m}$.

Keďže norma $\Vert A(t)\Vert$ je tiež spojité zobrazenie, nadobúda svoje maximum v $[a,b]$. Dann ist $L:=\underset{t\in [a,b]}{\max }\Vert A(t)\Vert$ die Lipschitz-Konstante für die rechte Seite sks linearen Systems und damit besitz dieses System nach Satz 2.2 eine einskutige Uvod2.

''Príklad 2.2

Riešenie $y^{\prime }=\sqrt{|y|},y(0)=0.$
S oddeľovačom premenných skr dostanete Uvod2 $$\begin{array}{c}y(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{t^2}{4}& \text{for}t>0\\ -\frac{t^2}{4}& \text{for}t\le 0.\end{array}\end{array}$$

Ďalšie netriviálne Uvod2 sú napríklad pre ľubovoľný $a\le 0$: $$\begin{array}{c}y(t)=\{\begin{array}{cc}\frac{t^2}{4}& \text{for}t>0\\ 0& a\le t\le 0\\ -\frac{(t-a{)}^2}{4}& \text{for}t<a.\end{array}\end{array}$$

Všimnite si, že funkcia skr pravej strany $f(t,y)=\sqrt{|y|}$ v okolí skr $(t_0,y_0)=(0,0)$ nie je Lipschitzovo spojitá.