Exemples de potències IV

Exemples procedeixen sempre de exercicis o deures resolts que es poden convertir en exemples gràcies a les correccions.

Els que tenen numeració canviaran per uns altres de propis.

Exemples:

47) Passar a potència de nombres primers:

$2^{4} \cdot 6^{2} \cdot 1 4^{3} =$ $2^{4} \cdot (3 \cdot 2)^{2} \cdot (2 \cdot 7)^{3} =$ $2^{4} \cdot (3^{2} \cdot 2^{2}) \cdot (2^{3} \cdot 7^{3}) =$ $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{3} \cdot 7^{3} =$ $2^{4 + 2 + 3} \cdot 3^{2} \cdot 7^{3} =$ $2^{9} \cdot 3^{2} \cdot 7^{3}$

$4^{3} \cdot 5^{2} \cdot 1 0^{- 3} =$ $(2^{2})^{3} \cdot 5^{2} \cdot (2 \cdot 5)^{- 3} =$ $2^{2 \cdot 3} \cdot 5^{2} \cdot (2^{- 3} \cdot 5^{- 3}) =$ $2^{6} \cdot 5^{2} \cdot 2^{- 3} \cdot 5^{- 3} =$ $2^{6 - 3} \cdot 5^{2 - 3} =$ $2^{3} \cdot 5^{- 1}$

$\frac{1 2^{3} \cdot 3^{5}}{(2^{- 2})^{4} \cdot 9^{- 1}} =$ $\frac{(2^{2} \cdot 3)^{3} \cdot 3^{5}}{(2^{- 2})^{4} \cdot (3^{2})^{- 1}} =$ $\frac{(2^{2})^{3} \cdot 3^{3} \cdot 3^{5}}{(2^{- 2})^{4} \cdot (3^{2})^{- 1}} =$ $\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{3 + 5}}{2^{(- 2) \cdot 4} \cdot 3^{2 \cdot (- 1)}} =$ $\frac{2^{6} \cdot 3^{8}}{2^{- 8} \cdot 3^{- 2}} =$ $2^{6 + 8} \cdot 3^{8 + 2} =$ $2^{14} \cdot 3^{10}$

$\frac{4^{3} \cdot 8^{- 2}}{2^{5}} =$ $\frac{(2^{2})^{3} \cdot (2^{3})^{- 2}}{2^{5}} =$ $\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot (- 2)}}{2^{5}} =$ $\frac{2^{6} \cdot 2^{- 6}}{2^{5}} =$ $2^{6 - 6 - 5} =$ $2^{- 5}$

$\frac{6^{4} \cdot 4^{- 3}}{8^{- 2} \cdot 9^{- 2}} =$ $\frac{(2 \cdot 3)^{4} \cdot (2^{2})^{- 3}}{(2^{3})^{- 2} \cdot (3^{2})^{- 2}} =$ $\frac{2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2^{2 \cdot (- 3)}}{2^{3 \cdot (- 2)} \cdot 3^{2 \cdot (- 2)}} =$ $\frac{2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 2^{- 6}}{2^{- 6} \cdot 3^{- 4}} =$ $2^{4 - 6 + 6} \cdot 3^{4 + 4} =$ $2^{4} \cdot 3^{8}$

$15 \cdot {(\frac{5}{2})}^{- 2} =$ $3 \cdot 5 \cdot \frac{5^{- 2}}{2^{- 2}} =$ $3 \cdot 5 \cdot 5^{- 2} \cdot 2^{2} =$ $3 \cdot 5^{1 - 2} \cdot 2^{2} =$ $3 \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{2}$

$(3 \cdot 5)^{- 2} \cdot 3^{- 4} =$ $3^{- 2} \cdot 5^{- 2} \cdot 3^{- 4} =$ $3^{- 2 - 4} \cdot 5^{- 2} =$ $3^{- 6} \cdot 5^{- 2}$

$\frac{1 5^{- 4} \cdot 8 1^{- 2}}{2 5^{- 1} \cdot 4 5^{- 2}} =$ $\frac{(3 \cdot 5)^{- 4} \cdot (3^{4})^{- 2}}{(5^{2})^{- 1} \cdot (3^{2} \cdot 5)^{- 2}} =$ $\frac{3^{- 4} \cdot 5^{- 4} \cdot 3^{4 \cdot (- 2)}}{5^{2 \cdot (- 1)} \cdot (3^{2})^{- 2} \cdot 5^{- 2}} =$ $\frac{3^{- 4} \cdot 5^{- 4} \cdot 3^{- 8}}{5^{- 2} \cdot 3^{2 \cdot (- 2)} \cdot 5^{- 2}} =$ $\frac{3^{- 4} \cdot 5^{- 4} \cdot 3^{- 8}}{5^{- 2} \cdot 3^{- 4} \cdot 5^{- 2}} =$ $3^{- 4 - 8 + 4} \cdot 5^{- 4 + 2 + 2} =$ $3^{- 8} \cdot 5^{0} =$ $3^{- 8} \cdot 1 =$ $3^{- 8}$

Alternativa lenta d'aquest últim apartat:

$\frac{2 7^{2}}{9^{2}} =$ $\frac{(3^{3})^{2}}{(3^{2})^{2}} =$ $\frac{3^{3 \cdot 2}}{3^{2 \cdot 2}} =$ $\frac{3^{6}}{3^{4}} =$ $3^{6 - 4} =$ $3^{2} =$ $9$

$\frac{1 6^{3}}{3 2^{2}} =$ $\frac{(2^{4})^{3}}{(2^{5})^{2}} =$ $\frac{2^{4 \cdot 3}}{2^{5 \cdot 2}} =$ $\frac{2^{12}}{2^{10}} =$ $2^{12 - 10} =$ $2^{2} =$ $4$