Obyčajné differenciálne rovnice/Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientami

2.3.1 dericia1

Nech je matica $A(t)$ v (2.11) konštantná, $A(t)\equiv A\in {ℝ}^{m\times m}.$ Princíp skr superpozície a z neho vyplývajúci vzorec sk (2.17) platí v tomto špeciálnom prípade a poskytuje Uvod2 sks nehomogénnu úlohu (2.11). skr homogénna rovnica ${\overrightarrow{y}}^{\prime }(t)=A\overrightarrow{y}(t)$ súvisiaca fundamentálna matica pozostáva z $m$ nezávislých vektorovo-hodnotových funkcií ${\overrightarrow{y}}^i,i=1,\dots m,$ skn Uvod2s $$({\overrightarrow{y}}^i(t){)}^{\prime }=A{\overrightarrow{y}}^i(t)(2.18)$$

zodpovedajú . Každúsk anskre Uvod2 tejto homogénnej diferenčnej rovnice možno reprezentovať ako kombináciu ${\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t),c_i\in ℝ$ týchto Uvod2s. Konštanty $c_i$ súskn neskôr určené počiatočnou podmienkou, sknn musí platiť $\overrightarrow{y}(t_0)\stackrel{}{=}{\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t_0).$

Uvod2 z (2.18) určíme pomocou vlastných čísel (EW) a vlastných vektorov (EV) skr matice $A$. Pre vlastné hodnoty a vlastné vektory matice $A$ platí nasledovné: $$A{\overrightarrow{v}}_i={\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i,i=1,\dots m,$$ kde ${\lambda }_i\in ℝ$ oskr $ℂ$ skr $i$- a ${\overrightarrow{v}}_i\in {ℝ}^m$ oskr $C^m$ skr je príslušný vlastný vektor, ${\overrightarrow{v}}_i\ne \mathrm{𝟎}$. Po skm preformulovaní skr uvedenej rovnice dostaneme $(A-{\lambda }_{i}I){\overrightarrow{v}}_i=0,i=1,\dots m,$ z čoho vyplýva, že matica $(A-{\lambda }_{i}I)$ je singulárna. To je ekvivalentné s $skt(A-{\lambda }_{i}I)=0$. Determinant $skt(A-\lambda I)$ je polynóm $m$-tej grasks v $\lambda$, tzv. charakteristický polynóm $\rho (\lambda )$. Vlastné čísla ${\lambda }_i$ sú teda nuly $\rho (\lambda )=skt(A-\lambda I)$. V nasledujúcomskn najprv uvažujeme skn prípade skr jednoduché nuly $\rho (\lambda )$, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne \dots \ne {\lambda }_m.$

Teraz hľadáme skr Uvod2 z (2.18). Ak skr Uvod2svektor $\overrightarrow{y}{}^i(t)=f(t){\overrightarrow{v}}_i$ z skm (konštantná) časť vlastného vektora ${\overrightarrow{v}}_i$ a skm skalárna časť $f(t)$, potom na skr pravá strana (2. 18) $f(t){\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i$, a skr nekonštantná, $t-$ závislá, skalárna časť $f(t)$ $\overrightarrow{y}{}^i$ musí obsahovať skn výraz $e^{{\lambda }_{i}t}$. Takto sa dostaneme k Uvod2 $$\overrightarrow{y}{}^i(t)=e^{{\lambda }_{i}t}{\overrightarrow{v}}_i.$$ (uistite sa, že $(\overrightarrow{y}{}^i(t){)}^{\prime }=A\overrightarrow{y}{}^i(t)$).

Nakoniec sk definujeme základnú maticu pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel.

---

Definícia 2.4 (Fundamentálna matica pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel

---

Definícia 2.4 (Fundamentálna matica pre homogénny Dgl (2.18) v prípade jednoduchých vlastných čísel

Nech vlastné hodnoty matice skr $A$ sú jednoduché, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne \dots \ne {\lambda }_m.$ Fundamentálna matica skr homogénnej diferenciálnej rovnice (2.18) je jednoduchá, ${\lambda }_2\ne \dots \ne {\lambda }_m.$. 18) má potom nasledujúcisk tvar $$Y(t)=((\overrightarrow{y}{}^1(t),\dots ,\overrightarrow{y}{}^m(t))=\left(\begin{array}{cccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}{\overrightarrow{v}}_1,& e^{{\lambda }_{2}t}{\overrightarrow{v}}_2,& \dots & ,e^{{\lambda }_{m}t}{\overrightarrow{v}}_m\\ ⋮& ⋮& & ⋮\end{array}\right),(2.19)$$

kde ${\lambda }_i,{\overrightarrow{v}}_i,i=1,\dots ,m$ sú (jednoduché) vlastné hodnoty a príslušné vlastné vektory $A$.

Teraz môžeme určiť jedenskutige Uvod2 sks problém počiatočnej hodnoty. Nech $\overrightarrow{y}(t)$ je Uvod2 z (2.18) s $\overrightarrow{y}(t_0)={\overrightarrow{y}}_0$. Potom $\overrightarrow{y}(t)\stackrel{}{=}{\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t)$, kde ${\overrightarrow{y}}^i(t)$ sú stĺpce skr základnej matice (2. 19) a konštanty $c_1,\dots c_m$ sú určené ako Uvod2 sks nasledujúci Lösung lineárny systém, $$Y(t_0)\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{cccc}{\overrightarrow{v}}_1,& {\overrightarrow{v}}_2,& \dots & ,{\overrightarrow{v}}_m\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ & & & \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_m\end{array}\right)={\overrightarrow{y}}_0.$$ Tento lineárny systém presne zodpovedá podmienke skr $\overrightarrow{y}(t_0)\stackrel{}{=}{\sum }_{i=1}^m{c}_i{\overrightarrow{y}}^i(t_0)={\overrightarrow{y}}_0,$ pretože ${\overrightarrow{y}}^i(t_0)={\overrightarrow{v}}_i$.

---

Príklad 2.3. Finsk the Uvod2 skr Uvod4 tretí rád $$y^{‴}+6y^{″}+11y^{\prime }+6y=0,y(0)=1,y^{″}(0)=y^{\prime }(0)=0.$$ Po skm preformulujte túto rovnicu do $3\times 3$ sústavy Dgl pre $\overrightarrow{y}(t)=(y_1,y_2,y_3{)}^T=(y,y^{\prime },y^{″}{)}^T$ dostaneme $$(\overrightarrow{y}(t){)}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -6& -11& -6\end{array}\right)\overrightarrow{y}(t),\overrightarrow{y}(0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$ Určíme vlastné hodnoty a vlastné vektory skr matice systému. Charakteristický polynóm tejto matice je $$rho(\lambda )=skt\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 0\\ 0& -\lambda & 1\\ -6& -11& -6-\lambda \end{array}\right)=-(6+\lambda ){\lambda }^2-11\lambda -6.$$ Nuly $\rho (\lambda )$ sú ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=-3.$ Zodpovedajúcesk vlastné vektory pre tieto vlastné hodnoty sú (prepočítajte!) $${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -24\end{array}\right),{\overrightarrow{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 9\end{array}\right)$$ (oskr nemeniacich sasknsk násobkov ${\overrightarrow{v}}_i\ne \mathrm{𝟎}$). Teraz môžeme vypočítať všeobecnú Uvod2 našej sústavy pomocou (2. 19) ako ľubovoľnú kombináciu skr stĺpcov skr základnej matice $Y(t)$, $$\overrightarrow{y}(t)=Y(t)\overrightarrow{c}=c_1{e}^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)+c_2{e}^{-2t}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right)+c_3{e}^{-3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 9\end{array}\right).$$ Téme Uvod2 našej pôvodnej diferenciálnej rovnice tretieho rádu zodpovedá skr prvá zložka $\overrightarrow{y}(t),$ t.j. $y(t)=c_1{e}^{-t}+c_2^{-2t}+c_3{e}^{-3t}$. Z počiatočných podmienok skn $y(0)=1,y^{″}(0)=y^{\prime }(0)=0$ nakoniec vyplýva $c_1=3,c_2=-3,c_3=1$.
Hľadané Uvod2 je $y(t)=3e^{-t}-3^{-2t}+e^{-3t}$.

Teraz uvažujeme skn prípad, keď matica $A$ v (2.18) má viac vlastných hodnôt. Nech ${\lambda }_i$ je $k$-násobok vlastných čísel $A$, $k>1$. Preto charakteristický polynóm $\rho (\lambda )$ (stupňa $m$) má najviac $m-k+1$ rôznychskne núl ${\lambda }_1\ne \dots \ne {\lambda }_{m-k+1}$. Predpokladajme, že neexistujú žiadne ďalšie násobné nuly $\rho (\lambda )$. Potom dostaneme $j=1,\dots m-k+1$ vyriešením $(A-{\lambda }_j)\overrightarrow{v}=0$ na $\overrightarrow{v}$ celkom $m-k+1$ nezávislých vlastných vektorov. . Základnú maticu (2.19) nemožno úplne zostrojiť. werskn.
Ako vytvoriť zvyšné $k-1$ nezávislé stĺpce $Y(t)$?
Aby sme mohli odpovedať na túto otázku, musíme sa bližšie pozrieť na násobnosť vlastného čísla. Rozlišuje sa medzi

• algebraická násobnosť (AVf) von ${\lambda }_i$: toto je násobok skr nuly $\rho (\lambda )$, v našom prípade je to $k$.
• geometrická násobnosť (GVf) ${\lambda }_i$: das ist die Dimension sks Uvod2sraumes von $(A-{\lambda }_i)\overrightarrow{v}=0$, (die Dimension von Kern($A-{\lambda }_i$)).

Prípad 1: (GVf=AVf)
Situácia je jednoduchá, ak geometrická násobnosť ${\lambda }_i$ zodpovedá algebraickej násobnosti skr ($k$). Všetky potrebné vlastné vektory pre ${\lambda }_i$ potom získame riešením $(A-{\lambda }_i)\overrightarrow{v}=0$ pre $\overrightarrow{v}$, sknn die Uvod2en $\overrightarrow{v}$ spannen v $k$-rozmernom vlastnom priestore k ${\lambda }_i$.
Prípad 2: (GVf<AVf)
Ak je geometrická násobnosť ${\lambda }_i$ menšia ako $k$, musíme doplniť ďalšie vektory, tzv. zovšeobecnené vlastné vektory. Nech (GVf)$=\ell <k$. Potom najprv dostaneme ${\lambda }_i$ ako v prípade 1 $\ell$ vlastné vektory ${\overrightarrow{v}}_i,{\overrightarrow{v}}_{i+1},\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}$ riešením $(A-{\lambda }_i)\overrightarrow{v}=0$. Ďalšie zovšeobecnené vlastné vektory (nazývané aj hlavné vektory skr 2., 3. atď. úrovne) získame vložením skr už známych vlastných vektorov (oskr hlavných vektorov) do pravej strany a riešením pre $\overrightarrow{v}$: $$\begin{array}{ccc}(A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+\ell }& =& {\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}\\ (A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+\ell +1}& =& {\overrightarrow{v}}_{i+\ell }\\ \dots & & \\ (A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+k-1}& =& {\overrightarrow{v}}_{i+k-2}.\end{array}$$ Dosadením prvej rovnice skr zhora do rovnice pre posledný vygenerovaný vlastný vektor skn $(A-{\lambda }_i){\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}=0$, dostaneme prvý hlavný vektor ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell }$ pre skn, že $(A-{\lambda }_i{)}^2{\overrightarrow{v}}_{i+\ell }=0.$ sksa nazýva aj hlavný vektor skr úrovne 2, pretože ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell }$. (Vlastné vektory ${\overrightarrow{v}}_i,\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}$ werden auch Hauptvektoren der úrovne 1). Postupným vkladaním sa získa úroveň 3 pre skn hlavný vektor ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell +1}$ a nakoniec sa získa úroveň ${\overrightarrow{v}}_{i+k-1}$ pre skn hlavný vektor $k-\ell +1$.

Vlastné vektory ${\overrightarrow{v}}_i,{\overrightarrow{v}}_{i+1},\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+\ell -1}$ spolu s hlavnými vektormi ${\overrightarrow{v}}_{i+\ell },\dots ,{\overrightarrow{v}}_{i+k-1}$ pokrývajú $k$-rozmerný vlastný priestor k ${\lambda }_i$ a sú použité, na generovanie chýbajúcich $k$ stĺpcov základnej matice, ktoré patria do $k$-násobku vlastného čísla ${\lambda }_i$.

---

definícia 2.5 (Fundamentálna matica pre viacnásobné vlastné hodnoty)

Nech ${\lambda }_i$ je $k$-násobok vlastných čísel matice $A$. Časť fundamentálnej matice (2.18) spojená s vlastnou hodnotou ${\lambda }_i$ má nasledujúci tvar $\left(\begin{array}{c}\dots \left|e^{{\lambda }_{i}t}{\overrightarrow{v}}_i\right|e^{{\lambda }_{i}t}({\overrightarrow{v}}_{i}t+{\overrightarrow{v}}_{i+1})|\dots |e^{{\lambda }_{i}t}({\overrightarrow{v}}_i\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}+{\overrightarrow{v}}_{i+1}\frac{t^{k-2}}{(k-2)!}+\dots +{\overrightarrow{v}}_{i+k-2}t+{\overrightarrow{v}}_{i+k-1})|\dots \end{array}\right)$ (2.20)

kde ${\lambda }_i,{\overrightarrow{v}}_i,\dots {\overrightarrow{v}}_{i+k-1}$ sú vlastné vektory a hlavné vektory ${\lambda }_i$, ktorých konštrukcia je opísaná vyššie v prípadoch 1 a 2.

---

Príklad 2.4 Daná je matica $A\in {ℝ}^{6\times 6}$ s charakteristickým polynómom $\rho (\lambda )=det(A-\lambda I)=(\lambda -2{)}^3(\lambda -3{)}^3$. Nuly sú ${\lambda }_1=2$ (trojica), ${\lambda }_2=3$ (trojica). Nech geometrická násobnosť ${\lambda }_2$ je $dimkernel(A-2I)=2<3$ a násobnosť ${\lambda }_3$ $dimkernel(A-3I)=1<3$. Bestimme die Fundamentalmatrix vom System $(\overrightarrow{y}(t){)}^{\prime }=A\overrightarrow{y}(t)$.
Vlastný priestor pre ${\lambda }_2=2$:
Riešením $(A-2I)\overrightarrow{v}=0$ získame vlastné vektory ${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2$. Denné vlastné vektory (hlavný vektor 2. úrovne) získame riešením $$(A-2I){\overrightarrow{v}}_3={\overrightarrow{v}}_2\iff (A-2I{)}^2{\overrightarrow{v}}_3=0.$$ Vlastný priestor k ${\lambda }_3=3$:
Riešením $(A-3I)\overrightarrow{v}=0$ získame vlastný vektor ${\overrightarrow{v}}_4$. Chýbajúce zovšeobecnené vlastné vektory ${\overrightarrow{v}}_5,{\overrightarrow{v}}_6$ (hlavné vektory 2. a 3. úrovne) získame riešením $$\begin{array}{c}(A-3I){\overrightarrow{v}}_5={\overrightarrow{v}}_4\iff (A-3I{)}^2{\overrightarrow{v}}_5=0,\\ (A-3I){\overrightarrow{v}}_6={\overrightarrow{v}}_5\iff (A-3I{)}^3{\overrightarrow{v}}_6=0.\end{array}$$ Základná matica je teraz daná $\left(\begin{array}{cccccc}{e}^{2t}{\overrightarrow{v}}_1& |e^{2t}({\overrightarrow{v}}_{1}t+{\overrightarrow{v}}_2)& |e^{2t}({\overrightarrow{v}}_1\frac{t^2}{2}+{\overrightarrow{v}}_{2}t+{\overrightarrow{v}}_3)& |e^{3t}{\overrightarrow{v}}_4& |e^{3t}({\overrightarrow{v}}_{5}t+{\overrightarrow{v}}_6)& |e^{3t}({\overrightarrow{v}}_4\frac{t^2}{2}+{\overrightarrow{v}}_{5}t+{\overrightarrow{v}}_6)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right).$

Poznámka 2.1 (Prípad: komplexné vlastné čísla) Podľa základnej vety algebry má charakteristický polynóm pre $A\in {ℝ}^{n\times n}$ s násobnosťou $n$ núl, t.j. $A$ má $n$ vlastných čísel.

Okrem reálnych núl alebo vlastných čísel, o ktorých sme hovorili vyššie, je možné, že $A$ má komplexné vlastné čísla a komplexné vlastné vektory. To znamená, že $\lambda =\sigma +i\tau$ a $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+i\overrightarrow{b}$ sa delia na reálnu a imaginárnu časť. V tomto prípade je $e^{\lambda t}\overrightarrow{v}$ tiež riešením sústavy, ale je komplexne hodnotené. Ako získate reálne riešenia?

Komplexné nuly reálnych polynómov sa vždy vyskytujú v komplexne konjugovaných dvojiciach, preto $\lambda =\sigma +i\tau$ je tiež $\bar{\lambda }=\sigma -i\tau$ nula, a teda vlastné číslo. Súvisiace vlastné vektory sú potom tiež navzájom komplexne konjugované $\bar{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{a}-i\overrightarrow{b}$. Preto $e^{\bar{\lambda }t}\bar{\overrightarrow{v}}$ je tiež riešením.

Ak teraz dodržíme Eulerovu identitu $e^{(\sigma +i\tau )t}=e^{\sigma t}[\cos (\tau t)+i\sin (\tau t)],$ nové riešenie s reálnou hodnotou môžeme vypočítať z týchto dvoch riešení pomocou súčtu a rozdielu, reálnych riešení $$e^{\sigma t}(\cos (\tau t)\overrightarrow{a}-\sin (\tau t)\overrightarrow{b})\text{ a }{e}^{\sigma t}(\sin (\tau t)\overrightarrow{a}+\cos (\tau t)\overrightarrow{b})$$ pre diferenciálnu rovnicu. Haben die komplexen Nullstellen selbst eine höhere Vielfachheit, so geht man dann analog zum reellen Fall vor und muss entsprechend mit $t,\frac{t^2}{2},\dots$ multiplizieren. Hier gehen wir auf diesen Fall nicht weiter ein.