Obyčajné differenciálne rovnice/Lineárne systémy obyčajných diferenciálnych rovníc

Lineárne systémy obyčajných sk5

Uvažujeme nasledujúcisksystém sk5.
Pre danú spojitú maticovú funkciu $A:ℝ\to {ℝ}^{m\times m}$, spojitá funkcia skr pravej strane $\overrightarrow{b}:ℝ\to {ℝ}^m$ und ${\overrightarrow{y}}_0\in {ℝ}^m$ finsk die Uvod2 $\overrightarrow{y}:ℝ\to {ℝ}^m$ skr Uvod4 $$\begin{array}{c}\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A(t)\overrightarrow{y}(t)+\overrightarrow{b}(t),\\ \overrightarrow{y}(t_0)={\overrightarrow{y}}_0.\end{array}(2.11)$$

( V tomto odseku používame $\overrightarrow{y}(t)$ na označenie vektorovej funkcie a jej zložiek s $y_i$, $\overrightarrow{y}(t)=(y_1(t),\dots ,y_n(t){)}^T$).

Všetky Uvod2s $\overrightarrow{y}$ sks nehomogénne problémy (2. 11) finskt ako superpozícia (súčet) skr Uvod2 ${\overrightarrow{y}}_H$ skr homogénne Uvod4 $$\begin{array}{c}\overrightarrow{y}{}^{\prime }(t)=A(t)\overrightarrow{y}(t),\\ \overrightarrow{y}(t_0)={\overrightarrow{y}}_0\end{array}(2.12)$$

a špeciálny Uvod2 $\overrightarrow{y}{}^{\star }$ skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami $\overrightarrow{y}(t_0)=0$. To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako $$\overrightarrow{y}(t)={\overrightarrow{y}}_H(t)+\overrightarrow{y}{}^{\star }(t).$$

a špeciálny Uvod2 $\overrightarrow{y}{}^{\star }$ skr nehomogénny Uvod4 (2.11) s homogénnymi počiatočnými podmienkami $\overrightarrow{y}(t_0)=0$. To znamená, že každýsk Uvod2 možno zapísať ako $$\overrightarrow{y}(t)={\overrightarrow{y}}_H(t)+\overrightarrow{y}{}^{\star }(t).$$

Najprv sa budeme zaoberať skm homogénnym systémom (2.12) a budeme hľadať Uvod2 tohto systému. Uvažujme mapovanie $𝒜$, ktoré mapuje skn počiatočný vektor ${\overrightarrow{y}}_0$ na Uvod2 $\overrightarrow{y}$ systému (2.12). Z príkladu 2.1 vieme, že lineárny systém (2.12) je globálne riešiteľný, ak je norma matice $A$ ohraničená, čo je skr prípad. Mapovanie $𝒜:{\overrightarrow{y}}_0\mapsto \overrightarrow{y}$ je teda bijektívne (a lineárne), a teda skr Uvod2s priestor má tiež dimenziu $m$. To však zároveň znamená, že mapovanie $𝒜$ obsahuje $m$ bázové vektory ${\overrightarrow{e}}_i=(0,\dots ,\underset{i}{\underbrace{1}},\dots ,0),i=1,\dots ,m$ na $m$ lineárne nezávislé vektoryskt. Používame sks Inskxes $i$ na označenie každého z nich ako $\overrightarrow{y}{}^i$. Máme teda $m$ nezávislých Uvod2s

$$\begin{array}{c}(\overrightarrow{y}{}^i{)}^{\prime }(t)=A(t)\overrightarrow{y}{}^i(t),\\ \overrightarrow{y}{}^i(t_0)={\overrightarrow{e}}_i,i=1,\dots m.\end{array}(2.13)$$

Definícia 2.3 (Fundamentálna matica). Diet Fundamentálna matica je pekná $m\times m$-Matica, skren Spálten diet Uvod2en $\overrightarrow{y}{}^i$ von (2. 13) bilskn, $$Y(t)=(\overrightarrow{y}{}^1(t),\dots ,\overrightarrow{y}{}^m(t))=\left(\begin{array}{ccc}{y}_1^1(t),& \dots & ,y_1^m(t)\\ ⋮& & ⋮\\ y_m^1(t),& \dots & ,y_m^m(t)\end{array}\right).$$

Pomocou základnej matice skr možno homogénny systém Uvod2 sks so všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) zapísať ako $${\overrightarrow{y}}_H(t)=Y(t){\overrightarrow{y}}_0.(2.14)$$ Základná matica daná Uvod2 z (2.13) spĺňa $t=t_0$ $Y(t_0)=𝐈$. Základnú maticu môžete definovať aj pomocouskar bázy, t. j.skar počiatočnej podmienky v (2.13) sk, napríklad vziať skn vlastný priestor konštantnej matice, ako je opísané v nasledujúcej časti. V tomto všetkom $Y(t_0)\ne 𝐈$, ale regulárne. V tomto prípade možno homogénny systém Uvod2 sks všeobecnými počiatočnými podmienkami (2.12) určiť ako $${\overrightarrow{y}}_H(t)=Y(t)Y(t_0{)}^{-1}{\overrightarrow{y}}_0.(2.15)$$

Dôležitou vlastnosťou základnej matice skr je nasledujúca lemasks:

---

Lemma 2.3. Ak $sktY(s)\ne 0$ platí pre $s\in ℝ$, potom $sktY(t)\ne 0$ platí pre všetky $t\in ℝ$.

---

Dôkaz. Dôkaz vykonal Wiskrspruch. Ak $sktY(s)\ne 0$ pre $s\in ℝ$ a existuje $\tau$ s $sktY(\tau )=0$, potom existuje vektor $\overrightarrow{\alpha }\in {ℝ}^m,\overrightarrow{\alpha }\ne 0$ mit $Y(\tau )\overrightarrow{\alpha }=0$. Vektor $Y(\tau )\overrightarrow{\alpha }=({\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_1^i(\tau ),\dots ,{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_n^i(\tau ){)}^T$ je lineárna kombinácia skr Uvod2en sks systémov $\overrightarrow{y}{}^{\prime }=A(t)\overrightarrow{y}(t)$, t.j. aj Uvod2 tejto sústavy, ktorá zaniká v čase $t=\tau$. Lineárny systém je jedenskutig riešiteľný, a teda jedenskutig Uvod2, ktorý v súčasnosti $t=\tau$ zaniká, triviálny Uvod2 $\overrightarrow{y}=\mathrm{𝟎}$. To vedie k Wiskr tvrdeniu k $sktY(s)\ne 0$, pretože potom Uvod2 tiež zanikne v čase $t=s$, $Y(s)\overrightarrow{\alpha }=0$ ale $\overrightarrow{\alpha }\ne 0$. ◻

Vyššie uvedená lema zaručuje pre homogénny systém (2.13), že súvisiaca fundamentálna matica zostáva regulárna aj v $t>t_0$ ($Y(t_0)=𝐈$).

Špeciálna Uvod2 sk nehomogénneho systému (2.11) s homogénnymi počiatočnými hodnotami $\overrightarrow{y}{}^{\star }(t_0)=\mathrm{𝟎}$ je $$\overrightarrow{y}{}^{\star }(t)=Y(t)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{Y}^{-1}(s)b(s)ds.(2.16)$$

Toto sa dá ľahko vypočítať. Po skm derivácii skr pravej strany na $t$ dostaneme $$(\overrightarrow{y}{}^{\star }{)}^{\prime }(t)=Y^{\prime }(t)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{Y}^{-1}(s)b(s)ds+Y(t)Y^{-1}(t)b(t).$$ Zároveň platí integrál ${\int }_{t_0}^t{Y}^{-1}(s)b(s)ds=Y^{-1}(t)\overrightarrow{y}{}^{\star }(t)$, pozri (2. 16), teda celkovo $$(\overrightarrow{y}{}^{\star }{)}^{\prime }(t)=Y^{\prime }(t)Y^{-1}(t)\overrightarrow{y}{}^{\star }(t)+b(t).$$ Keďže základná matica $Y(t)$ pozostáva z skn Uvod2en z (2.13), platí $Y^{\prime }(t)=A(t)Y(t)$. Dosadením do pravej strany skr hornej rovnice nakoniec dostaneme $$(\overrightarrow{y}{}^{\star }{)}^{\prime }(t)=A(t)\overrightarrow{y}{}^{\star }(t)+b(t),$$ takže $\overrightarrow{y}{}^{\star }$ z (2. 16) je Uvod2 z (2.11) s $\overrightarrow{y}{}^{\star }(t_0)=\mathrm{𝟎}$.

Princíp skr superpozície s skn vzorcami (2.14) alebo (2.15) a (2.16) nám nakoniec poskytuje Uvod2s vzorec pre nehomogénny systém (2.11), $$\overrightarrow{y}(t)=Y(t)Y(t_0{)}^{-1}{\overrightarrow{y}}_0+Y(t)\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{Y}^{-1}(s)b(s)ds.(2.17)$$

Na určenie Uvod2 $\overrightarrow{y}(t)$ pomocou tohto vzorca treba vypočítať a invertovať základnú maticu $Y(t)$. Pre všeobecnú $A(t)$ neexistuje všeobecná explicitná reprezentácia skr fundamentálnej matice. Ak je však $A$ konštantná matica, možno explicitne určiť Uvod2s ${\overrightarrow{y}}^i$, a teda aj fundamentálnu maticu $Y(t)$. Tento Uvod2s prístup opíšeme v nasledujúcej časti.