Nombres racionals III

En aquesta secció s'introdueix al treball de totes les fraccions com un conjunt.

Introducció

A l'antiguitat trobem mols vestigis de fraccions que tenen diferents formes, uns associats a dibuixos uns altres barrejant altres símbols.

A l'Amèrica en trobem els asteques que mesuraven longituds amb diferents mesures on unes eren fraccions d'altres indicats amb dibuixos.

A l'antic continent han aparegut diverses vegades les fraccions:

Els primers que van utilitzar amb consciencia les fraccions van ser els sumeris i la seva escriptura va anar evolucionant fins a obtenir un sistema numèric sexagesimal molt modern.

Els egipcis van fer fraccions amb parts de l'ull d'Horus.

Els nombres racionals

Els nombres racionals són valors de la forma:

$\frac{a}{b}$

On a és un nombre enter i b és un nombre enter diferent de zero.

Exemples:

$\frac{4}{5},$ $\frac{7}{-2},$ $\frac{-1}{9},$ $-\frac{7}{3},$ $\frac{4}{2},$ $\frac{0}{8}$ o $-\frac{1}{2}$

La recta numèrica amb fraccions

Les fraccions són valors que es poden expressar amb valors decimals aproximats, només cal dividir el numerador entre el denominador.

$\frac{1}{1}=1,$ $-\frac{1}{1}=-1$ $\frac{1}{2}=0^{\prime }5,$ $-\frac{1}{2}=-0^{\prime }5,$ $\frac{3}{2}=1^{\prime }5,$ $-\frac{3}{2}=-1^{\prime }5,$ $\frac{2}{1}=2$ i $-\frac{2}{1}=-2$

El lloc de cada fracció és doncs:

Oposat d'una fracció

Per fer l'oposat d'una fracció només cal canviar el signe que tingui.

Exemples:

Número	$\stackrel{Op}{\to }$	Oposat
$\frac{3}{2}$	$⟼$	$-\frac{3}{2}$
$-\frac{1}{2}$	$⟼$	$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{1}$	$⟼$	$-\frac{2}{1}$
$\frac{0}{1}$	$⟼$	$\frac{0}{1}$

Propietats

• La suma de nombres oposats és zero.

• La distància de la fracció al zero i del seu oposat al zero és la mateixa.

• És com una simetria des de el zero i on el zero es queda quiet.

• L'oposat d'un oposat torna a ser el mateix número.

Invers d'una fracció

Per fer l'Invers d'una fracció només cal intercanviar el numerador amb el denominador.

Exemples:

Número	$\stackrel{Inv}{\to }$	Invers
$\frac{3}{2}$	$⟼$	$\frac{2}{3}$
$-\frac{7}{2}$	$⟼$	$-\frac{2}{7}$
$\frac{5}{8}$	$⟼$	$\frac{8}{5}$
$\frac{0}{1}$	$⟼$	No en té.

Propietats

• El producte de números inversos és 1.

• Un número i el seu invers tenen el mateix signe.

• L'invers d'un invers torna a ser el mateix números.

Valor absolut

Per fer valor absolut només cal esborrar el signe negatiu.

Exemples:

Número	$\stackrel{|\cdot |}{\to }$	Invers
$\frac{3}{2}$	$⟼$	$\frac{2}{3}$
$-\frac{7}{2}$	$⟼$	$\frac{2}{7}$
$\frac{5}{8}$	$⟼$	$\frac{8}{5}$
$\frac{0}{1}$	$⟼$	$\frac{0}{1}$

Operacions

Les operacions amb fraccions són importants de cara a obtenir fraccions simples i irreductibles que hauria de ser un hàbit per sempre.

Recordem que per simplificar o reduir fraccions es busca un divisor comú al numerador i denominador, i fem l'operació fins que ja no es pugui més.

$\frac{8}{32}=\frac{4\cdot 2}{16\cdot 2}=\frac{4\cdot \cancel{2}}{16\cdot \cancel{2}}=\frac{4}{16}$

Per tant això equival a dividir per 2 al numerador i denominador, com que es pot dividir més continuem:

$\frac{4}{16}=\frac{2\cdot 2}{8\cdot 2}=\frac{2\cdot \cancel{2}}{8\cdot \cancel{2}}=\frac{2}{2}=\frac{2}{4\cdot 2}=\frac{\cancel{2}}{4\cdot \cancel{2}}=\frac{1}{4}.$

Com que ja no podem dividir més ja està reduït.

Observacions

• En reduir una fracció mai pot aparèixer un zero, pensem que en reduir apareix un 1 al numerador i denominador.

Exemple molt detallat on un nombre es repeteix multiplicant al numerador i denominador llavors es simplifica com 1:

$\frac{42}{6}=\frac{21\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{21\cdot \cancel{2}}{3\cdot \cancel{2}}=\frac{21\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{21}{3}=\frac{7\cdot 3}{1\cdot 3}=\frac{7\cdot \cancel{3}}{1\cdot \cancel{3}}=\frac{7\cdot 1}{1\cdot 1}=\frac{7}{1}=7.$

Producte

Per fer el producte o multiplicació de dues fraccions presentem una fórmula però cal fixar-se en els exemples.

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Exemples:

a) $\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$

b) $\frac{-1}{2}\cdot \frac{5}{3}=\frac{-1\cdot 5}{2\cdot 3}=\frac{-5}{6}=-\frac{5}{6}$

c) $\frac{7}{-2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{7\cdot 8}{-2\cdot 3}=\frac{56}{-6}=-\frac{56}{6}=-\frac{28}{3}$

d) $5\cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{5\cdot 2}{1\cdot 3}=\frac{10}{3}$

Divisió

Per fer la divisió entre dues fraccions presentem una fórmula però cal fixar-se en els exemples.

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Exemples:

a) $\frac{2}{3}÷\frac{5}{7}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 5}=\frac{14}{15}$

b) $\frac{-1}{2}÷\frac{5}{3}=\frac{-1\cdot 3}{2\cdot 5}=\frac{-3}{10}=-\frac{3}{10}$

c) $\frac{7}{-2}÷\frac{8}{3}=\frac{7\cdot 3}{-2\cdot 8}=\frac{21}{-16}=-\frac{21}{16}$

d) $5÷\frac{2}{3}=\frac{5}{1}÷\frac{2}{3}=\frac{5\cdot 3}{1\cdot 2}=\frac{15}{2}$

Sumes i restes

Les sumes successives de fraccions es poden agrupar en dos grups, les que tenen mateix denominador i les que no tenen mateix denominador on es distingeix també casos o dreceres.

Mateix denominador

Fórmula per sumar i restar fraccions amb mateix denominador:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

$\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$

Exemples:

a) $\frac{23}{2}-\frac{13}{2}+\frac{5}{2}=\frac{23-13+5}{2}=\frac{15}{2}$

b) $\frac{4}{3}+\frac{5}{3}-\frac{6}{3}=\frac{4+5-6}{3}=\frac{3}{3}=1$

c) $\frac{-3}{5}+\frac{7}{5}-\frac{-1}{5}-\frac{3}{5}=\frac{-3+7-(-1)-3}{5}=\frac{2}{3}$