Template:ਬਰਾ ਸਪੇਸ

ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤਾ ਮਸ਼ੀਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸਿੱਕੇ (ਇਨ-ਪੁੱਟ) ਅਤੇ ਕੀਪੈਡ ਤੇ ਟਾਈਪ ਕਰਕੇ ਐਂਟਰ ਕੀਤਾ ਕੋਈ ਕੋਡ, ਅਤੇ (ਉਮੀਦ ਨਾਲ) ਇੱਕ ਨਾਸ਼ਤੇ ਦੀ ਆਊਟ-ਪੁੱਟ। ਇਹ ਇੰਝ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਵਾਲੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਯਾਨਿ ਕਿ, ਵਾਰ ਵਾਰ ਹਰ ਵਕਤ ਤੇ ਉਹੀ ਪੈਸਾ ਜਮਾਂ ਉਹੀ ਕੋਡ, ਉਹੀ ਨਾਸ਼ਤਾ (ਜਾਂ ਉਹੀ ਇਰਰ ਮੈਸੇਜ) ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮਸ਼ੀਨ ਦੀ ਇਨਪੁੱਟ ਤੇ ਆਊਟਪੁੱਟ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਵੱਖਰੇ ਸੁਭਾਅ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਨਾਸ਼ਤਾ ਮਸ਼ੀਨ ਬਣਾਉਣ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਇਨਪੁੱਟ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਆਊਟ-ਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਫੈਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਨਿਕਲਦੇ ਹੋਣ। ਗਣਿਤਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਮਸ਼ੀਨ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਆਮ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ, ਜਿਸ ਨੂੰ $F$ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਜੋ ਇੱਕ ਆਮ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ${\varphi }_A$ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਰਿਹਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਕ੍ਰਿਆ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$⟨F|(|A⟩)={\varphi }_A.$

ਆਓ ਅਪਣਾ ਧਿਆਨ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਤੇ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਪਣੇ ਓਪਰੇਟ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੇ ਰੇਖਿਕ ਨਿਰਭਰਤਾ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਹੈਰਾਨ ਨਾ ਹੁੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲਜ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਧਾਰਣ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ, ਜਿਸ ਨੂੰ $F$ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ; ‎

$⟨F|(|A⟩+|B⟩)=⟨F|(|A⟩)+⟨F|(|B⟩),$

ਜਿੱਥੇ

$|A⟩$ ਅਤੇ :$|B⟩$

ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਦੋ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਹਨ।

ਇੱਕ $N$-ਅਯਾਮੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਇੱਕ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ, ਜਾਂ ਗਿਣਨ਼ਯੋਗ ਅਨੰਤ-ਅਯਾਮੀ $N\to \mathrm{\infty }$ ਸਪੇਸ) ਲਓ। ਹੁਣ $|i⟩$ ਨੂੰ (ਜਿੱਥੇ $i$ ਦਾ ਸੰਕੇਤ 1 ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ $N$ ਤੱਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਇਸ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ $N$ ਆਤਮ ਨਿਰਭਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$|A⟩=\sum _{i=1,N}{\alpha }_i|i⟩,$

ਜਿੱਥੇ ${\alpha }_i$ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਮਨਚਾਹੇ ਸੈੱਟ ਹਨ। ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਲ $F$ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ

‎:$⟨F|(|A⟩+|B⟩)=⟨F|(|A⟩)+⟨F|(|B⟩),$

ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ‎

$⟨F|(|A⟩)=\sum _{i=1,N}{f}_i{\alpha }_i,$

ਜਿੱਥੇ $f_i=F(|i⟩)$ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹਨ।

(ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿਰਫ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਲਈ ਹੀ ਸੱਚ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਗਿਣਨ਼ਯੋਗ ਅਨੰਤ ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਦਾ ਉੱਪ ਸਮੂਹ ਹੀ ਅਜਿਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਉਹ ਪੂਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਜਰੂਰ ਹੀ ਸੰਪੂਰਨ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਨੇ ਸੂਖਮ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨੀਆਂ ਹੋਣ, ਇਸਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਇਸ ਖਾਸ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਹੀ ਲੈਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੈ)

ਆਓ ਅਸੀਂ $N$ ਅਧਾਰਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਕਲ $⟨i|$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਈਏ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ‎

$⟨i|(|j⟩)={\delta }_{ij}$

ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ। ਇੱਥੇ, ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ ਚਿੰਨ ਇਸਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ${\delta }_{ij}=1$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $i=j$ ਹੋਵੇ , ਨਹੀਂ ਤਾਂ ${\delta }_{ij}=0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

ਪਿਛਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ‎

$⟨F|=\sum _{i=1,N}{f}_i⟨i|.$

ਪਰ, ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ $N$-ਅਯਾਮੀ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਹੀ ਇੱਕ N-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਜਨਮਦਾਤਾ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਜੋ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹਨ) ਨੂੰ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲੋਂ ਸੁਭਾਅ ਪੱਖੋਂ ਕਾਫੀ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਇਸਲਈ ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਦਰਪਣ ਦੇ ਅਕਸ ਵਾਲੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ‎$⟨\cdots |$ ਅਤੇ $|\cdots ⟩$ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਦੇ ਵੀ ਕਨਫਿਊਜਨ ਨਾ ਹੋ ਸਕੇ)। ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਉਸ ਚੀਜ਼ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਇੱਕ ਦੂਹਰੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਹ ਮੂਲ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਲਈ ਦੋਹਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ)। ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਅਤੇ ਸਬੰਧਿਤ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਰਸਪਰ ਮੇਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ $A$ ਤੱਤ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਬੰਧਿਤ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੀ $A$ ਹੀ ਕਹਿਣਾ ਸੌਖਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਨਿ ਕਿ;

$|A⟩\stackrel{\mathrm{D}\mathrm{C}}{⟷}⟨A|,$

ਜਿੱਥੇ DC ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਦੋਹਰਾ ਮੇਲ

ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਸਬੰਧਿਤ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਮੇਲ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੀ ਭੌਤਿਕੀ ਮਹਤੱਤਾ ਵਾਲਾ ਤਰੀਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ $|A⟩$ ਲਈ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ

$|A⟩=\sum _{i=1,N}{\alpha }_i|i⟩$

ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਸਬੰਧਿਤ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ‎

$⟨A|=\sum _{i=1,N}{\alpha }_i^{\ast }⟨i|,$

ਜਿੱਥੇ ${\alpha }_i^{\ast }$ ਦੇ ਚਿੰਨ ${\alpha }_i$ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰਾਂ $⟨A|$ ਨੂੰ $|A⟩$ ਲਈ ਦੂਹਰੇ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ, c ‎〈‎‎A| ਲਈ ਦੋਹਰਾ c^* |A‎〉‎ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $c$ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੈ। ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ,

$c|A⟩\stackrel{\mathrm{D}\mathrm{C}}{⟷}{c}^{\ast }⟨A|,$

ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇੱਕ ਬਰਾ ਵੈਕਟਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਆਮ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ ਲਈ ਦੋਹਰਾ ਹੈ।

$|B⟩=\sum _{i=1,N}{\beta }_i|i⟩$

ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰ $|A⟩$ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ‎$⟨B|(|A⟩)$ ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ, ਫੇਰ ਵੀ, ਕਿ ਅਸੀਂ ਗੋਲ ਬਰੈਕਿਟਾਂ ਨੂੰ ਬਗੈਰ ਕੋਈ ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ‎$⟨B||A⟩$ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਦਰਸਾਓ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਰਲ ਕਰਕੇ ‎$⟨B|A⟩$ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ

$⟨B|A⟩=\sum _{i=1,N}{\beta }_i^{\ast }{\alpha }_i.$

ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ‎$⟨B|A⟩$〉‎ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਰਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪੈਦਾਵਰ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪੈਦਾਵਰ ਕਿਸੇ ਵਕਰੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਹਿ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ (covariant) ਅਤੇ ਵਿਰੁੱਧ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ (contravariant) ਵੈਕਟਰ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਪੈਦਾਵਰ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ‎

$⟨B|A⟩=⟨A|B{⟩}^{\ast }.$

ਸਪੈਸ਼ਲ ਕੇਸ ਨੂੰ ਲਓ ਜਿੱਥੇ $|B⟩\to |A⟩$ ਹੋਵੇ| ਉੱਪਰਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ‎$⟨A|A⟩$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ; ‎

$⟨A|A⟩\ge 0.$

ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਰਾਬਰਤਾ ਦਾ ਚਿੰਨ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $|A⟩$ ਇੱਕ ਨੱਲ ਕੈੱਟ ਹੋਵੇ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ

$|A⟩=\sum _{i=1,N}{\alpha }_i|i⟩,$

ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ${\alpha }_i$ ਜੀਰੋ ਹੋਣ)। ਬਰਾ ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿਆਖਿਆ ਲਈ ਜਰੂਰੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ।

ਦੋ ਕੈੱਟ $|A⟩$ ਅਤੇ $|B⟩$ ਨੂੰ ਔਰਥਾਗਨਲ (orthogonal) ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ‎ $⟨A|B⟩=0,$ ਹੋਵੇ। ਜਿਸਦਾ ਇਹ ਅਰਥ ਵੀ ਹੈ ਕਿ ‎

$⟨B|A⟩=0$

ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਕੈੱਟ $|A⟩$ ਲਈ, ਜੋ ਨੱਲ ਕੈੱਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਾਨਕੀਕਰਨ (ਨੌਰਮਲਾਈਜੇਸ਼ਨ) ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕੈੱਟ $|\tilde{A}⟩$ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ $|\tilde{A}⟩=\left(\frac{1}{\sqrt{⟨A|A⟩}}\right)|A⟩,$ ਵਿੱਚ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ $⟨\tilde{A}|\tilde{A}⟩=1.$ ਇੱਥੇ, $\sqrt{⟨A|A⟩}$ ਨੂੰ $|A⟩$ ਦਾ ਨਿਯਮ ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਪ੍ਰੰਪਰਾਗਤ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ, ਜਾਂ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $|A⟩$ ਅਤੇ $c|A⟩$ ਇੱਕੋ ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਸਮਝਣਾ ਅਰਥ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਕਿ ਭੌਤਿਕੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਸਾਰੇ ਕੈੱਟਾਂ ਲਈ ਇਕਾਈ ਦੇ ਨਿਯਮ ਜਰੂਰੀ ਹਨ। (ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਡੀਰਾਕ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਬਰਾ ਅਤੇ ਕੈੱਟ ਦੇ ਮੇਲ ਨਾਲ bra(c)ket ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਤਕਰੀਬਨ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੀ ਨਾ ਗਿਣਨਯੋਗ ਅਨੰਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਕੈੱਟ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਹਰੀ ਬਰਾ ਸਪੇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨੀ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹਨ ਕਿ ਅਨਿਰੰਤਰ ਲੇਬਲਾਂ ਉੱਤੇ ਜੋੜ ਨਿਰੰਤਰ ਲੇਬਲਾਂ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨਜ਼ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਡੀਰਾਕ ਡੈਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਜਰੂਰ ਹੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਇਹ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ), ਤੇ ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਕੁੱਝ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਬਾਰੇ ਜਿਆਦਾ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਪੜਾਂਗੇ।