Phương trình đạo hàm bậc hai

Dạng tổng quát

$a{f}^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+b{f}^{\text{'}}(t)+cf(t)=0$

Giải phương trình

$a\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)+\frac{d}{dt}f(t)+cf(t)=0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)+\frac{b}{a}\frac{d}{dt}f(t)+\frac{c}{a}f(t)=0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-\frac{b}{a}\frac{d}{dt}f(t)-\frac{c}{a}f(t)$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-2\alpha \frac{d}{dt}f(t)-\beta f(t)$

Cho nghiệm phương trình

• Với $\alpha =\beta$, 1 nghiệm số thực $f(t)=A{e}^{-\alpha t}$
• Với $\alpha >\beta$, 2 nghiệm số thực $f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )t}$ .
• Với $\alpha <\beta$, 2 nghiệm số phức $f(t)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$ .

Với

$A(\alpha )=A{e}^{-\alpha t}$

$\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$

$\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$

$\beta =\frac{1}{T}=\frac{c}{a}$

$\alpha =\beta \gamma =\frac{b}{2a}$

$\gamma =\frac{b}{2c}$

Từ trên, Với

• $\alpha =0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-\beta f(t)$

$f(t)=A{e}^{\sqrt{-\beta }t}=A{e}^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\beta =\frac{1}{T}$

$T=LC$

• $\beta =0$

$\frac{d^2}{d{t}^2}f(t)=-2\alpha \frac{d}{dt}f(t)$

$\frac{d}{dt}f(t)=-2\alpha f(t)$

$f(t)=A{e}^{-\frac{1}{T}t}$

$T=\frac{1}{2\alpha }$

Phương trình đạo hàm bậc hai đặc biệt

Dạng tổng quát

$a{f}^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+bf(t)=0$

Giải phương trình

$a{f}^{{\text{'}}^{\prime }}(t)+bf(t)=0$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(t)=-\frac{b}{a}f(t)$

$f(t)=A{e}^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\omega =\sqrt{\frac{1}{T}}$