Arrels IV

En aquesta secció es tracta un tema especific d'arrels i com es combinen.

Arrels

Aquest és un tema suficientment conegut com per fer una exposició oberta de tots els tipus d'arrels, orientat com a recordatori, però que servirà per reforçar els possibles oblits respecte aquest contingut.

Arrels quadrades

Presentació: $\sqrt{a}$ = arrel quadrada de a.

Definició: L'arrel quadrada de a és un valor real positiu r que compleix que $r^2=a.$

Observació:

$\begin{array}{ccc}{ℝ}^{+}& \stackrel{\sqrt{\bullet }}{\to }& {ℝ}^{+}\\ 0& & \sqrt{0}=& 0\\ 1& & \sqrt{1}=& 1\\ 4& & \sqrt{4}=& 2\\ 100& & \sqrt{100}=& 10\\ 0,01& & \sqrt{0,01}=& 0,1\\ 250000& & \sqrt{250000}=& 500\end{array}$

Arrels cúbiques

Presentació: $\sqrt[3]{a}$ = arrel cúbica de a.

Definició: L'arrel cúbica de a és un valor real r, que compleix que $r^3=a.$

Observació:

$\begin{array}{ccc}ℝ& \stackrel{\sqrt[3]{\bullet }}{\to }& ℝ\\ 0& & \sqrt[3]{0}=& 0\\ 1& & \sqrt[3]{1}=& 1\\ -1& & \sqrt[3]{-1}=& -1\\ 8& & \sqrt[3]{8}=& 2\\ -8& & \sqrt[3]{-8}=& -2\\ -1000& & \sqrt[3]{-1000}=& 10\\ 0,001& & \sqrt[3]{0,001}=& 0,1\\ -8000& & \sqrt[3]{-8000}=& 20\end{array}$

Arrels en general

Presentació: $\sqrt[n]{a}$ = arrel n-èsima de a.

Definició: L'arrel n-èsima de a és un valor real r si compleix que $r^n=a.$

$\sqrt[n]{a}=\{\begin{array}{cc}\sqrt[n]{a}=x& \text{ si }a>0\\ \sqrt[n]{a}=x& \text{ si }n\text{ és imparell }\\ \nexists =\text{ No existeix}& \text{ a la resta de casos }\end{array}$

Observació: L'arrel n-èsima r, si existeix, té el mateix signe de a.

$\begin{array}{ccc}ℝ& \stackrel{\sqrt[n]{\bullet }}{\to }& ℝ\\ a& & x\end{array}$

Exemples

1).$\sqrt[100]{1}=1$

3).$\sqrt[4]{10000}=10$

4).$\sqrt[7]{-1}=-1$

Lèxic

${\sqrt[\text{Índex}\to n]{a}}_{\leftarrow \text{Radicand}}^{\swarrow \text{Radical}}=x\leftarrow \text{arrel}$

Exercicis

1).$\sqrt[3]{-27}=$	2).$\sqrt[4]{16}=$	3).$\sqrt{\sqrt{16}}=$
4).$\sqrt[5]{32}=$	5).$\sqrt[6]{64}=$	6).$\sqrt[3]{\sqrt{64}}=$
7).$\sqrt[8]{100000000}=$	8).$\sqrt[3]{-125}=$	9).$\sqrt[7]{10^7}=$
10).$\sqrt{\sqrt{\sqrt{100000000}}}=$	11).$\sqrt{0,01}=$	12).$\sqrt{0,0001}=$
13).$\sqrt[3]{\sqrt{64000000}}=$	14).$\sqrt[7]{10^{14}}=$

Propietats

Per poder treballar directament sobre les propietats suposarem que no es pot reduir l'ultim quadrat de $\sqrt{(-a{)}^2}=a$ si a > 0 perquè no dona el resultat correcte, ni de ${\sqrt{-a}}^2$ amb a > 0 perquè inicialment no existeix, aquesta darrera en cursos superiors es podrà fer contextualment.

Notació

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

${\sqrt[n]{a}}^m$ $={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$ $=a^{\frac{m}{n}}$ $\sqrt[n]{a^m}$ $={\left(a^m\right)}^{\frac{1}{n}}$ $=a^{\frac{m}{n}}$ I la fracció $\frac{m}{n}$ de l'exponent es pot reduir si cal.

${\sqrt[n]{a}}^n$ $=\sqrt[n]{a^n}$ $=a^{\frac{n}{n}}=a^1=a.$

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ $={\left(a^{\frac{1}{m}}\right)}^{\frac{1}{n}}$ $=a^{\frac{1}{m}\cdot \frac{1}{n}}$ $=a^{\frac{1}{n\cdot m}}$ $=\sqrt[n\cdot m]{a}.$

Propietats

$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$ $(a\cdot b{)}^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}\cdot b^{\frac{1}{n}}$	$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}={\sqrt[n\cdot m]{a}}^{m+n}$ $a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}$	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}={\sqrt[n\cdot m]{a}}^{m-n}$ $\frac{a^{\frac{1}{n}}}{a^{\frac{1}{m}}}=a^{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}$

Vegis també

Escola secundària

• Matemàtiques 4 ESO