Proporcionalitat I

Aquesta secció tracta sobre el comportament dels valors. Comparem un comportament natural o ideal dels valors, ja sigui dins d'una taula o bé un esquema de valors, amb la resta de comportaments coneguts.

Raó

Parlem de raó quan volem transformar un valor a en un altre b, vegem aquest comportament amb exemples:

Exemples:

1) Volem trobar un valor r que en multiplicar-lo per 5 el resultat sigui 3, es a dir que volem $5\cdot r=3$. $5\stackrel{r}{\to }3$

1r.-Assajant amb el r=0,1? no dona. Després amb el r=0,2? tampoc. I amb r=0,6 sí funciona: $5\times 0,6=3,$ per tant l'hem trobat, es a dir la raó r és 0,6 per tempteix. 2n.-Es pot fer també amb un mètode mecànic $r=\frac{3}{5}$, es a dir, cal posar el nombre que volem obtenir al numerador a dalt de la fracció i el valor de sortida o inicial al denominador a sota. Vegem-ho: $5\times \frac{3}{5}=\frac{5\cdot 3}{5}=3$ és correcte, per tant dona la mateixa raó degut a que la fracció és una divisió. Si dividim 3 entre 5 dona 0,6 que és r.

2) Inversament volem trobar un valor r que en multiplicar-lo per 3 el resultat sigui 5, es a dir que volem $3\cdot r=5$. $3\stackrel{r}{\to }5$

1r.-Assajant amb el r=2? no dona. Després amb el r=1,5? tampoc. I amb r=1,6666 sí aproxima bastant: $3\times 1,6666=5,$ per tant l'hem trobat un raó bastant aproximada, es a dir la raó r és 1,6666, això es tempteig. 2n.-Es pot fer també amb un mètode mecànic $r=\frac{5}{3}$, es a dir, cal posar el nombre que volem obtenir al numerador a dalt de la fracció i el valor de sortida o inicial al denominador a sota. Vegem-ho: $3\times \frac{5}{3}=\frac{3\cdot 5}{3}=5$ és correcte, per tant dona la mateixa raó degut a que la fracció és una divisió. Si dividim 5 entre 3 dona $1^{\prime }\hat{6}$ que és r que és molt més exacte que el tempteig..

3) Vegem ara com omplir una columna de valors diferents amb una sola raó recordant la secció passada.

1 kg	0,20 €
2 kg	x
3 kg	x
5 kg	x
10 kg	x
50 kg	x
100 kg	x
1000 kg	x

Proporcionalitat directa

Proporcionalitat directa o simplement proporcionalitat és precisament la relació entre dues fileres de dades amb una raó entre les fileres com abans.

Una forma mecànica, sense aplicar raó, per esbrinar el valor de x són les següents depenent d'on estigui la incògnita:

$\begin{array}{ccc}a& ⟶& b\\ c& ⟶& x\end{array}\}\to x=\frac{c\cdot b}{a}$

$\begin{array}{ccc}a& ⟶& b\\ x& ⟶& c\end{array}\}\to x=\frac{c\cdot a}{b}$

Si us fixeu bé, són la mateixa fórmula, feu la següent lectura: multipliquem en diagonal i dividim pel extrem que queda.

Vegem com es fan servir:

Exemples:

1) Comparant la quantitat de pantalons i el preu a pagar:

x	9 €
3	27 €
10	x
20	x
x	360 €
50	x
x	9000 €
10000	x

Proporcionalitat inversa

Proporcionalitat inversa o indirecta és una relació molt habitual entre dades que no és proporcional, es a dir no hi ha cap mena de raó entre per a tots els valors, de fet ens interessa la facilitat amb la que es poden fer els càlculs.

$\begin{array}{ccc}a& ⟶& b\\ c& ⟶& x\end{array}\}\to x=\frac{a\cdot b}{c}$

$\begin{array}{ccc}a& ⟶& b\\ x& ⟶& c\end{array}\}\to x=\frac{b\cdot a}{c}$

Deures

Completa les taules següents segons les dades demanades:

1) Taula d'una empresa per a construccions de cases d'un mateix tipus.

Cases	Portes	Finestres	Anys
		3
	12		1
3	18
4		20
			10
20

2) Taula de treball al camp amb 153ha terra cultivable:

Pagesos	Hores	Dies	Anys
3		50
	8
10
			1
			20

3) Troba el valors assenyalats de la taula següent:

Cases	Obrers	Anys
1	2	4
1	8	a
b	4	4
c	4	8
8	d	8

Comparativa entre els mètodes de proporcionalitat

Es tracta de aprendre a distingir les situacions en tres grans grups: dades proporcionals, dades inversament proporcionals i d'altres relacions.

Un tutorial en castellà pot ser aquest tutorial per proporcionalitat directa i inversa només ens interessa el mètode ràpid.

Plànol

Resta de seccions de primer d'ESO.