View source for Polinomi adaptació Ll1

Definició algebraica de polinomi, es donen els conceptes elementals del que és un polinomi i la seva identificació extensament.

== Definicions ==

Un '''monomi''' o terme és un conjunt de valors constants(coeficients) i variables amb potències enteres que es multipliquen.

=== '''Exemple de monomis:''' ===

:1) <math>3\cdot x</math> el punt de multiplicació es pot estalviar <math>3x</math>

:2) -7

:3) <math>xy</math>

:4) <math>a8x^5</math>

:5) <math>-5x^2y^32</math> els valors es poden multiplicar <math>-10x^2y^3</math>

[[File:Expresión algebraica.svg|right|250px]]

Un '''polinomi''' no és més que sumes de [https://www.youtube.com/watch?v=KA1JtsR_NT4 monomis] o [https://www.youtube.com/watch?v=zqoPv_l0X20 termes] i, per tant, veurem que són multiplicacions separades per sumes i restes. A la imatge veiem assenyalats els termes del polinomi <math>-2x^2+20-x+\sqrt{3}y</math>

=== '''Exemples de polinomis:''' ===

:1) <math>-3xz+5yx^3-12xy^2z-3</math> és un polinomi en arbitrari amb 4 termes.

:2) <math>2-3x+x^2+5x^3+7x^4-9x^5</math> és el tipus de polinomis que més usarem amb 6 termes.

Forma algebraica general d'un polinomi p(x):

::<math>p(x)</math> <math>=a_nx^n+\dots+a_6x^6</math> <math>+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0</math>

on tots els coeficients <math>a_i</math> són constants i poden ser qualsevol nombre real: <math>-5, 0, \sqrt{5}, -\tfrac{3}{7}</math> o <math> 2\sqrt{3}</math>, i on '''n''' és un nombre natural(només assegura que el polinomi tingui una quantitat finita de termes).

'''Exemples donant les <math>a</math> amb cada subíndex:'''

:1) Quin és el polinomi <math>q(x)</math> si els únics coeficients diferents de zero són <math>a_0=1</math>, <math>a_1=-2</math>, <math>a_6=-5</math> i <math>a_8=\tfrac{12}{5}</math>?

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}}
|-
|Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat:

<math>q(x)</math> <math>=\tfrac{12}{5}x^8+0x^7+(-5)x^6+0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+(-2)x^1+1x^0</math>

Simplificant els termes multiplicats per zero i <math>x^0=1</math>, tenim que:

<math>q(x)=\tfrac{12}{5}x^8+(-5)x^6+(-2)x^1+1</math>, és a dir, <math>q(x)=\tfrac{12x^8}{5}-5x^6-2x+1.</math>
|}

:2) Quin és el polinomi <math>r(x)</math> si els únics coeficients diferents de zero són <math>a_3=-1</math>, <math>a_4=12</math>, <math>a_5=1</math> i <math>a_6=\sqrt{2}</math>?

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Solució:}}
|-
|Substituïm els valors sobre la forma general, donant el resultat:

<math>r(x)</math> <math>=\sqrt{2}x^6+1x^5+12x^4+(-1)x^3+0x^2+0x^1+0x^0</math>

Simplificant els termes multiplicats per zero, tenim que:

<math>r(x)=\sqrt{2}x^6+1x^5+12x^4+(-1)x^3</math>, és a dir, <math>q(x)=\sqrt{2}x^6+x^5+12x^4-x^3.</math>
|}

== Operacions ==

=== Suma de polinomis ===

Els polinomis es poden sumar directament de forma horitzontal o posant un sota l'altre i sumar-lo com si fos una suma de nombres:

:Cal tenir en compte que només es poden sumar els termes amb el mateix tipus de variable i potència. Exemple:

::<math>(3x^5)+(8x^{15})</math> no es pot sumar perquè un terme té variable amb potencia 5 i l'altre terme té variable amb potència 15.

::<math>(3x^{13})+(-2x^{13})=(3-2)x^{13}=1x^{13}=x^{13}</math> perquè tenen variable amb la mateixa potència i per tant aquest sí que es pot sumar.

Quan els polinomis són llargs, <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1</math> i <math>q(x)=x^4+x^3-x^2-2x+6,</math> per sumar <math>p(x)+q(x)</math> farem servir el següent sistema.

{|cellpadding="10"
|style="width:300px"|<math>
\begin{array}{ccc}
 & & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\
\begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & x^4 & +x^3 & -x^2 & -2x & +6 \\
\hline
 & x^4 & 0 & 2x^2 & -x & +5 \\
\end{array}
</math>
|bgcolor="#eef"|Per sumar verticalment tindrem en compte:

:1) Cal ordenar el polinomi amb les potencies decreixents, deixant zeros en cas de faltar alguna potència.

:2) En posar el segon polinomi a sota cal fer correspondre les potencies iguals.
|}

=== Producte per escalar ===

Podem multiplicar un polinomi, <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1,</math> per un nombre, <math>-2.</math>

Vegem la multiplicació:

{|cellpadding="10"
|style="width:300px"|<math>
\begin{array}{ccc}
 & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\
\begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & -2 \\
\hline
 & +2x^3 & -6x^2 & -2x & +2 \\
\end{array}
</math>
|bgcolor="#eef"|Per multiplicar el polinomi per un escalar és el mateix que fer la '''propietat distributiva''', fixeu-vos que el nombre '''-2''' multiplica als 4 termes:

:<math>(-2)\cdot p(x)=-2\cdot(-x^3+3x^2+x-1)</math> <math>=(-2)\cdot(-x^3)+(-2)\cdot(3x^2)+(-2)\cdot(x)-(-2)\cdot(1)</math> <math>=+2x^3-6x^2-2x+2</math>
|}

=== Resta de polinomis ===

La raó que porta a fer la resta després de la multiplicació és deguda a que convertirem la resta en suma. Suposem que volem restar a <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1</math> el polinomi <math>q(x)=x^4+x^3-x^2-2x+6,</math> llavors el que fem es multiplicar el polinomi que resta per '''-1''', és a dir, <math>(-1)\cdot(x^4+x^3-x^2-2x+6)</math> <math>=-x^4-x^3+x^2+2x-6</math> i ja es pot sumar, vegem la diferencia:

{|cellpadding="10"
|style="width:300px"|<math>
\begin{array}{ccc}
 & & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\
\begin{array}{|c|}\hline -\\ \hline \end{array} & x^4 & +x^3 & -x^2 & -2x & +6 \\
\hline
 & -x^4 & -2x^3 & 4x^2 & +3x & -7 \\
\end{array}
</math>
|style="width:300px"|<math>
\begin{array}{ccc}
 & & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\
\begin{array}{|c|}\hline +\\ \hline \end{array} & -x^4 & -x^3 & +x^2 & +2x & -6 \\
\hline
 & -x^4 & -2x^3 & 4x^2 & +3x & -7 \\
\end{array}
</math>
|}

Recordeu que la segona proposta es per estalviar errors, en cas d'usar la primera forma directament, si ho fa correctament, també està bé.

=== Producte de polinomis ===

Podem anar més enllà que un producte per escalar i multiplicar el polinomi, <math>p(x)=-x^3+3x^2+x-1,</math> per tot un monomi qualsevol com <math>p(x)=4x^3.</math>

Vegem la multiplicació:

{|cellpadding="10"
|style="width:300px"|<math>
\begin{array}{ccc}
 & -x^3 & +3x^2 & +x & -1 \\
\begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & & & 4x^3 \\
\hline
 & -4x^6 & +12x^5 & +4x^4 & -4x^3 \\
\end{array}
</math>
|bgcolor="#eef"|Per multiplicar el polinomi per un monomi és la mateixa '''propietat distributiva''', fixeu-vos que el nombre <math>p(x)=4x^3</math> multiplica als 4 termes:

:<math>(4x^3)\cdot p(x)=(4x^3)\cdot(-x^3+3x^2+x-1)</math> <math>=(4x^3)\cdot(-x^3)+(4x^3)\cdot(3x^2)+(4x^3)\cdot(x)-(4x^3)\cdot(1)</math> <math>=-4x^6+12x^5+4x^4-4x^3</math>
|}

Ara veiem com es multipliquen dos polinomis en general com si fos el producte de dos nombres qualsevols <math>p(x)=-x^2+x-1</math> i <math>q(x)=3x^2+2x+1</math>.

{|cellpadding="10"
|style="width:300px"|<math>
\begin{array}{ccc}
 & & -x^2 & +x & -1 \\
\begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array} & & 3x^2 & 2x & 1 \\
\hline
 & & -x^2 & +x & -1 \\
 & -2x^3 & +2x^2 & -2x & \\
 -3x^4 & +3x^3 & -3x^2 & & \\
\hline
 -3x^4 & x^3 & -2x^2 & -x & -1 \\
\end{array}
</math>
|bgcolor="#eef"|Per multiplicar el polinomi en aquest cas surten tres files, que fan els tres termes del segon polinomi i són les següents:

:<math>(-x^2+x-1)(1)=-x^2+x-1</math>

:<math>(-x^2+x-1)(2x)=-2x^3+2x^2-2x</math>

:<math>(-x^2+x-1)(3x^2)=-3x^4+3x^3-3x^2</math>

Si hem col·locat ordenadament les fileres, fent correspondre les potències iguals, llavors ja podem sumar-les.
|}

==== Producte notables o identitats notables ====

Encara que hi ha molts productes notables, ens interesa el cas de productes de polinomis(binomis) freqüents:

Del producte <math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd</math>, que el podem fer com si fos un producte de polinomis, podem obtenir les següents identitads:

1) <math>(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab.</math>

2) <math>(x+a)(x+a)=x^2+2ax+a^2.</math>

3) <math>(x+a)(x-a)=x^2-a^2.</math>

4) <math>(x-a)(x-a)=x^2-2ax+a^2.</math>

=== Divisió de polinomis ===

Per dividir polinomis farem servir també el sistema de divisió numèric estès, és a dir, amb una resta explícita.

Donats els polinomis <math>p(x)=x^4-1</math> i <math>q(x)=x-1</math> volem fer la divisió <math>p(x)\div q(x)</math>

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Passos:}}
|-
|El primer pas ha sigut trobar la <math>x^3</math> de forma que en '''restar''' el producte <math>(x^3)(x-1)=x^4-x^3</math> doni un zero sota les <math>x^4.</math>

:<math>
\begin{array}{l}
\begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\
\begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & \begin{array}{|c|}\hline x^3 \\ \hline \end{array}\\
\begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3\\ 
\end{array} &
\end{array}
</math>

Un cop feta cada resta podem baixar els termes restants del polinomi a l'alçada de <math>x^3.</math> En aquest cas només he baixat un zero per que no té termes amb <math>x^2</math> perquè ajuda a espaiar les operacions, si els baixo tots quedaria el polinomi <math>x^3+0+0-1</math> res més.

El següent pas és fer zeros sota les <math>x^3</math> llavors:

:<math>
\begin{array}{l}
\begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\
\begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & x^3 \begin{array}{|c|}\hline +x^2 \\ \hline \end{array}\\
\begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3 & \;\; 0\\ 
 & -x^3 & +x^2 \\ 
 \hline & \;\;\; 0 & +x^2\\ 
\end{array} &
\end{array}
</math>

Continuem fent zeros sota les <math>x^2</math> llavors:

:<math>
\begin{array}{l}
\begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\
\begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & x^3+x^2\begin{array}{|c|}\hline +x \\ \hline \end{array}\\
\begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3 & \;\; 0\\
 & -x^3 & +x^2\\ 
 \hline & \;\;\; 0 & +x^2 & \;\; 0\\ 
 & & -x^2 & +x \\ 
 \hline & & \;\;\; 0 & +x\\ 
\end{array} &
\end{array}
</math>

Per últim vegem que dona en continuar fent zeros:

:<math>
\begin{array}{l}
\begin{array}{c} \;\;\;x^4 & \;\;\;0 & \;\;\;\;0 & \;\;\;\;0 & -1 \end{array} & \begin{array}{|c} x-1\\ \hline \end{array} \\
\begin{array}{c} -x^4 & +x^3 & & & \end{array} & x^3+x^2+x\begin{array}{|c|}\hline +1 \\ \hline \end{array}\\
\begin{array}{c} \hline \;\;\; 0 & +x^3 & \;\; 0\\
 & -x^3 & +x^2\\ 
 \hline & \;\;\; 0 & +x^2 & \;\; 0\\ 
 & & -x^2 & +x \\ 
 \hline & & \;\;\; 0 & +x & -1\\ 
 & & & -x & +1 \\ 
 \hline & & & \;\;\; 0 & \;\;\; 0\\
\end{array} &
\end{array}
</math>

Per tant com que el reste és zero llavors vol dir que la divisió és exacta, és a dir:

:<math>\frac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1</math>

O també que:

:<math>x^4-1=(x-1)\cdot(x^3+x^2+x+1)</math>
|}

Exercicis:

1) Efectueu les divisions següents seguint els passos anteriors:

:a) <math>\frac{3x^4-x^3-2x^2+1}{x+1}=</math>

:b) <math>\frac{x^4+5x^3+7x^2+2}{-x+2}=</math>

==== Ruffini ====

Ruffini és un mètode especial per accelerar divisions particulars, usat per cercar o assajar possibles solucions d'equacions polinòmiques.

Volem convertir polinomis del tipus <math>x^2+3x+2</math> en expressions del tipus <math>(x+2)(x+1)</math> ja que sabem <math>x^2+3x+2=(x+2)(x+1)</math>, per tant es poden fer amb les divisions del tipus:

::<math>\frac{x^2+3x+2}{x+2}=(x+1)</math> o també <math>\frac{x^2+3x+2}{x+1}=(x+2)</math>

Per tant volem convertir polinomis en producte de binomis fent poc a poc divisions fins que no quedin més possibilitats, vegem el mètode:

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Passos:}}
|-
|Primer de tot, per descompondre un polinomi en producte de binomis, cal fixar-se en el terme independent ja que conté la multiplicació de tots els termes independents dels binomis que volem trobar.

:{|style="border: 1px  solid red;"
|'''Observació:''' Quin són els candidats a termes independents dels binomis:

:<math>(x+a)(x+b)(x+c)=(x+a)(x^2+(b+c)x+bc)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x\begin{array}{|c|}\hline +abc \\ \hline \end{array}</math>

per tant els termes independents, dels binomis, multiplicats dona '''abc''' que és el terme independent del polinomi resultant.
|}

Donat el polinomi <math>x^4-5x^2\begin{array}{|c|}\hline +4 \\ \hline \end{array}</math> farem els següents passos:

I) En la descomposició del terme independent 4 dona <math>4=2^2</math> i per tant els posibles divisors de 4 són -1, 1, -2, 2 i 4.

II) Escriure la capsa següent convertint el polinomi <math>x^4-5x^2+4</math> en una expressió sense desprovista de '''x''' però posant zeros en la posició on manquen potencies de '''x''', és a dir, <math>1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4</math>

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \downarrow\\ \hline \end{array}\\
&1\\ \end{array}</math>

:*La línia horitzontal és la de sumar.
:*La línia vertical separa el multiplicador, en aquest cas és '''2''', que correspon al terme independen del polinomi divisor <math>x-2</math> conviat de signe.
:*Baixem el primer terme del polinomi '''1''' com la fletxa indica.

II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel valor 1 baixat i el resultat el sumem a la següent columna.

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;2\cdot 1\\ \hline \end{array}\\
&1\\ \end{array}</math>

II.2) Fem la suma per fer obtenint el següent valor que multiplicarem.

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\\ \end{array}</math>

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Repetició dels passos II.1 i II.2 fins omplir tota la taula}}
|-
|II.1) Multipliquem el multiplicador 2 pel 2 obtingut en la suma anterior <math>2\cdot 2=4</math>

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\; 2\cdot 2\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\\ \end{array}</math>

II.2) Fem la suma <math>-5+4=-1.</math>

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\\ \end{array}</math>

II.1) <math>2\cdot (-1)=-2.</math>

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\\ \end{array}</math>

II.2) <math>-2+0=-2.</math>

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\\ \end{array}</math>

II.1) <math>2\cdot (-2)=-4.</math>

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\\ \end{array}</math>

II.2) <math>+4-4=0.</math>
|}

Finalment obtenim la taula plena:

:<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}1\;\;\;+0\;\;\;-5\;\;\;+0\;\;\;+4\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+4\;\;\;-2\;\;\;-4\\ \hline \end{array}\\
&1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2\;\;\;\;+0\\ \end{array}</math>

Si la última suma dona zero llavors vol dir que la divisió és exacta i la cadena resultant sense l'últim zero és <math>1\;\;\;\;+2\;\;\;-1\;\;\;-2</math> i el podem traduir com un polinomi amb terme independent és aquest '''-2''', per tant el polinomi el reconstruirem com <math>1x^3+2x^2-1x-2.</math> Ara podem afirmar que:

::<math>x^4-5x^2+4=(x-2)(1x^3+2x^2-1x-2)</math>

També podem dir que <math>x-2</math> és un divisor del polinomi <math>x^4-5x^2+4.</math>
|}

== Factorització de polinomis ==

Factoritzar polinomis és fer una descomposició en productes de binomis de del tipus '''ax+b''', i apareixen tants com la màxima potència és a dir:

:<math>a_nx^n+\dots+a_3x^3</math> <math>+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0</math> <math>=a_n(x+b_1)(x+b_2)(x+b_3)\cdot \dots\cdot(x+b_n)</math>

No sempre es poden factoritzar els polinomis, per tant, factoritzarem polinomis que es poden factoritzar fàcilment per Ruffini:

Exemple: Donat el polinomi <math>2x^4+x^3-8x^2-x+6,</math> es demana factoritzar-lo:

:{|
|<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;1\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-8\;\;\;-1\;\;\;+6\\ \;\;\;\;\;\;+2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\ \hline \end{array}\\
&2\;\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\ \end{array}</math>
|bgcolor="#ffe"|Per tant diu que <math>2x^4+x^3-8x^2-x+6</math> <math>=(x-1)(2x^3+3x^2-5x-6)</math>
|-
|<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;-1\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}2\;\;\;+3\;\;\;-5\;\;\;-6\\ \;\;\;\;\;\;-2\;\;\;\;-1\;\;\;+6\\ \hline \end{array}\\
&2\;\;\;\;+1\;\;\;-6\;\;\;\;+0\\ \end{array}</math>
|bgcolor="#ffe"|Per tant diu que <math>2x^3+3x^2-5x-6</math> <math>=(x+1)(2x^2+x-6)</math>
|-
|<math>\begin{array}{rl}
\begin{array}{r}\\ \;\;-2\\ \end{array}\ & \begin{array}{|l}2\;\;\;+1\;\;\;-6\\ \;\;\;\;\;\;-4\;\;\;+6\\ \hline \end{array}\\
&2\;\;\;\;-3\;\;\;+0\\ \end{array}</math>
|bgcolor="#ffe"|Per tant diu que <math>2x^2+x-6</math> <math>=(x+2)(2x-3)</math> i ja hem acabat.
|}

En resum podem dir que les taules de Ruffini es poden ajuntar([https://www.youtube.com/watch?v=ozzalwEBhw0 tutorial]) i el polinomi finalment queda com:

:<math>2x^4+x^3-8x^2-x+6</math> <math>=(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)</math>

== Equacions polinòmiques ==

Com que les equacions no tenen un mètode general persolucionar-les, podem utilitzar factorització polinòmica per trobar solucions.

Suposem que tenim l'equació:

:<math>2x^4+x^3-8x^2-x+6=0</math>

Per factorització polinòmica tenim que en realitat és:

:<math>(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)=0</math>

Sabem que una multiplicació és zero si i només si un dels multiplicands és zero, es a dir que:

:o bé (x-1)=0, o bé (x+1)=0, o bé (x+2)=0, o bé (2x-3)=0 i no cal que ho siguin a la vegada.

::Si (x-1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=1.

::Si (x+1)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-1.

::Si (x+2)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és x=-2.

::Si (2x-3)=0 llavors vol dir que la única possibilitat és <math>x=-\frac{3}{2}.</math>

i així es com trobarem les seves solucions.

== Valoració de polinomis ==

Per valorar polinomis com si fos una funció només hem de canviar totes les x per el valor que es decideixi([https://www.youtube.com/watch?v=MCbKYBUeE3U tutorial]).

Exemple: Suposem que volem valorar el polinomi <math>p(x)=2x^4+x^3-8x^2-x+6</math> per x=0. Quin es el seu resultat?

:<math>p(0)=2(0)^4+(0)^3-8(0)^2-(0)+6=0+0+0+6=6,</math> per tant el resultat de valorar el polinomi en x=0 és 6.

Suposem ara que el valorem en x=2:

:<math>p(2)=2(2)^4+(2)^3-8(2)^2-(2)+6=32+8-32-2+6=12,</math> per tant el resultat de valorar el polinomi en x=2 és 6.

Veiem ara que passa si x=-2:

:<math>p(-2)=2(-2)^4+(-2)^3-8(-2)^2-(-2)+6=32-8-32+2+6=0,</math> per tant el resultat de valorar el polinomi en x=-2 és 0. D'això en diem 
que el -2 és un zero del polinomi o també que -2 és arrel del polinomi.

== Funció polinòmica ==

Degut al fet que donat un valor de '''x''' obtenim una valoració '''y''' d'un polinomi, podem presentar tot polinomi com a funció.

Exemple:

== Notes ==

[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]