View source for Obyčajné differenciálne rovnice/Kontrola kroku pre jednokrokové metódy

= Kontrola kroku pre jednokrokové metódy =

Nastavenie veľkosti kroku <math display="inline">h</math> počas numerického výpočtu riešenia zohráva dôležitú úlohu v úlohách s počiatočnou hodnotou, ktorých pravá strana je strmá funkcia. Ak sa v takýchto prípadoch zachová pevná veľkosť kroku, numerická chyba v oblastiach strmého nárastu z<math display="inline">f</math> stark wachsen und das numerische Verfahren versagen. Kontrola veľkosti kroku je nevyhnutná aj pre takzvané <span>''tuhé''</span> problémy s veľmi rozdielnymi rýchlosťami rastu zložiek riešenia. Problémy s tuhosťou sa budú podrobnejšie skúmať neskôr. V tejto časti opisuje, ako použiť presný výraz pre lokálnu chybu metódy na nastavenie veľkosti kroku <math display="inline">h</math>. Obmedzíme sa tu na explicitnú Euerovu metódu.

Lokálna chyba opisuje chybu, ktorú ESV pripúšťa v každom jednotlivom kroku výpočtu, pozri definíciu 3.8, alebo ako dobre sa funkcia metódy aproximuje pravej strane AWA, <math display="inline">f(t,y)</math>. V prípade explicitnej Eulerovej metódy je lokálna chyba, vyhodnotená v bode <math display="inline">t_i</math> <math>\begin{aligned}
\tau(t_i,h)&=&\frac y''(\xi), \quad \xi\in(t_i,t_i+h),\quad \mbox{bzw.,} \\\tau(t_i,h)&=&\frac y''(t_i)+{\cal O}(h^2).\quad \end{aligned} \qquad (3.16)</math> 


Čím je funkcia <math display="inline">f</math> strmšia (čím väčšia <math display="inline">f'(t_i, y(t_i))=y''(t_i)</math>), tým väčšia je lokálna chyba <math display="inline">\tau(t_i,h)</math>. Cieľom riadenia veľkosti kroku je prispôsobiť veľkosť kroku priebehu funkcie <math display="inline">f</math> tak, aby sa lokálna chyba v každom kroku výpočtu <math display="inline">i=1,\ldots N_{h}-1</math> udržala pod určitou toleranciou.

Aby sme našli vhodnú veľkosť kroku v každom kroku, musíme vopred "skenovať" numerické riešenie a budúcu chybu. Pri explicitnej Eulerovej metóde sa tento odhad dá urobiť porovnaním numerického riešenia s riešením pomocou dvoch "polovičných" Eulerových krokov (s veľkosťou kroku <math>\frac h2</math>). Aby sme to vysvetlili, najprv preskúmame lokálnu chybu Eulerovej metódy s polovičnou veľkosťou kroku: <math>\begin{aligned}
\mbox{1. krok:}&& \overline{\eta}_{i+\frac1{2}}=\overline{\eta}_i+\frac h2 f(t_i,\overline{\eta}_i) ), \\
\mbox{2. Krok: }&& \overline{\eta}_{i}= \overline{\eta}_{i+\frac1{2}}+\frac h2 f(t_i+\frac h2,\overline{\eta}_{i+\frac1{2}})= \overline{\eta}_i+\frac h2 f(t_i, \overline{\eta}_i )+\frac h2 f\big(t_i+\frac h2,\overline{\eta}_{i+\frac1{2}}\big). \quad \end{aligned} \qquad (3.17)</math> 


Lokálna chyba tejto metódy je dvakrát menšia ako chyba Eulerovho vzorca, pretože <math>\begin{aligned}
h\overline{\tau} (t_i,h)&=&\overline{\varepsilon}(t_i,h)=y(t_i+h)-\big[ y(t_i)+\frac h2 f(t_i) )+\frac h2 f\Big(t_i+\frac h2, y(t_i)+\frac h2 f(t_i,y(t_i) )\Big) \big]\\\\stackrel{Taylor}{=}&&y(t_i)+hy'(t_i)+\frac{h^2}{2}y''(t_i)\\ &&-\big[ y(t_i)+\frac h2 f(t_i,y(t_i) ) +\frac h2 \big( f +\frac h2(f_t+ff_y)\big)(t_i,y(t_i))) \big]+{\cal O}(h^3)\\ &=&\frac{h^2}{2}y''(t_i)-\frac{h^2}{4}\underbrace{(f_t+ff_y)(t_i,y(t_i)) }_{=y''(t_i)}+{\cal O}(h^3)=\frac{h^2}{4}y''(t_i)+{\cal O}(h^3), 
\end{aligned} \qquad (3.18)</math> 


porovnaj (3.16). Podľa definície lokálnej chyby je lokálna chyba rovná rozdielu medzi presným a numerickým riešením (vypočítaným z presnej počiatočnej hodnoty), <math display="inline">\varepsilon(t_i,h)=y(t_{i}+h)-\eta_{i+1}</math>, pozri poznámku 3.1 bod ii). V súlade s tým pre Eulerovu metódu dostaneme <math display="block">\eta_{i+1}\stackrel{({3.16})}{=}y(t_{i}+h)-\frac{h^2}{2} y''(t_i)+{\cal O}(h^3),</math> 

a pre Eulerovu metódu s polovičnou veľkosťou kroku <math display="block">\overline{\eta}_{i+1}\stackrel{({3.18})}{=}y(t_{i}+h)-\frac{h^2}{4} y''(t_i)+{\cal O}(h^3).</math> 


Toto zistenie vedie k dvom záverom:<br />
a) Lokálnu chybu Eulerovej metódy možno predpovedať pomocou rozdielu numerického riešenia s veľkosťou kroku <math display="inline">h</math> a polovičnou veľkosťou kroku, <math display="block">2(\overline{\eta}_{i+1}-\eta_{i+1})=\frac{h^2}{2} y''(t_i)+\tilde{{\cal O}}(h^3). \qquad (3.19)</math> 


b) S vhodnou kombináciou dvoch riešení <math display="inline">\overline{\eta}_{i+1}, \, \eta_{i+1}</math> je možné odstrániť vedúci chybový prvok <math display="inline">\frac{h^2}{2} y''(t_i)</math> a rekonštruovať numerické riešenie druhého rádu, pretože <math display="block">2\overline{\eta}_{i+1}- \eta_{i+1} = y(t_{i}+h)+ {\cal O}(h^3). </math>

Rovnica (3.19) je základom pre úpravu veľkosti kroku Eulerovej metódy. Lokálnu chybu <math display="inline">\frac{h^2}{2} y''(t_i)+{\cal O}(h^3)</math> možno vopred určiť výpočtom rozdielu medzi numerickými riešeniami s plnou a polovičnou veľkosťou kroku <math display="inline">2(\overline{\eta}_{i+1}-\eta_{i+1})\equiv \varepsilon(t_i,h)</math>. Veľkosť kroku <math display="inline">h</math> sa volí tak, aby lokálna chyba neprekročila predtým zvolenú toleranciu <math display="inline">tol</math>:


<span>'''ALGORITM: Regulácia šírky kroku'''</span>

# <math display="inline">t=t_i</math>, vyberte veľkosť skúšobného kroku <math display="inline">H</math> a toleranciu <math display="inline">tol</math> pre lokálnu chybu.<br />
V ďalšom kroku vypočítajte numerické riešenie <math display="inline">t_i+H:</math>.
#* pomocou jedného kroku Eulerovej metódy s veľkosťou kroku <math display="inline">H</math>: <math display="inline">\eta_{i+1}^H</math>,
#* pomocou dvoch krokov Eulerovej metódy s polovičnou veľkosťou kroku <math display="inline">\frac{H}{2}:</math>, <math display="inline">\overline{\eta}_{i+1}^H</math>, pozri (3.17).
# Odhadnite... vedúca konštanta chyby pomocou (3.19), <math display="block">|\varepsilon (t_i,H)|=2|\overline{\eta}_{i+1}^H-\eta_{i+1}^H| \approx \gamma H^2, \ H\in \R_+\implies
 \gamma \approx \frac{|\varepsilon (t_i,H)|}{H^2} \equiv \frac{2|\overline{\eta}_{i+1}^H-\eta_{i+1}^H|}{H^2}.</math>
# Zvoľte optimálnu veľkosť kroku <math display="inline">h_{opt}</math> tak, aby lokálna chyba <math display="inline">\varepsilon (t_i,h_{opt})</math> neprekročila zadanú toleranciu <math display="inline">tol</math>: <math display="block">tol \geq |\varepsilon (t_i,h_{opt})|\approx \gamma h_{opt}^2 \equiv\frac{|\varepsilon (t_i, H)|}{H^2} h_{opt}^2 \implies</math> <math display="block">h_{opt}\leq \alpha \sqrt{\frac{tol}{|\varepsilon(t_i,H)|}}H= \alpha \sqrt{\frac{tol}{2|\overline{\eta}_{i+1}^H-\eta_{i+1}^H|}}H. </math> Rovnica (3.20) Parameter <math display="inline">\alpha</math> sa tu môže zvoliť na dodatočné škálovanie optimálnej veľkosti kroku. V praxi sa často používa <math display="inline">\alpha=0,9</math>.
# Určite numerické riešenie <math display="inline">\eta_{i+1}</math> v ďalšom kroku <math display="inline">t_i+h_{opt}</math> pomocou veľkosti kroku <math display="inline">h_{opt}</math> a metódy druhého rádu, <math display="inline">\eta_{i+1}: =\overline{\eta}_{i+1}^{h_{opt}}</math>, siehe (3. 17).<br />

Tento krok nie je povinný; možno tu použiť aj klasickú explicitnú Eulerovu metódu, ale so stratou presnosti (poradie konzistencie).

Namiesto tolerancie absolútnej lokálnej chyby sa pri riadení veľkosti kroku často predpokladá tolerancia relatívnej chyby (%). V tomto prípade sa namiesto <math display="inline">\varepsilon(t_i,H)</math> použije relatívna chyba <math display="inline">\varepsilon_{rel}(t_i,H)=\frac{\varepsilon(t_i, H)}{\eta_{i+1}}</math> sa používa na výpočet kroku, <math display="block">h_{opt}\leq \alpha \sqrt{\frac{tol }{|\varepsilon_{rel}(t_i,H)|}}H= \alpha \sqrt{\frac{tol . |\eta_{i+1}|}{2|\overline{\eta}_{i+1}^H-\eta_{i+1}^H|}}H.</math>


[[Category:Obyčajné differenciálne rovnice]]