View source for Matrius i geometria Ll1

Aquest resum intenta accedir a totes les branques de la geometria d'una forma breu i precisa donant propostes d'accés cap a altres mètodes més sintètics.

=== Matrius ===

Les matrius són valors agrupats com si fossin dins d'una quadrícula rectangular.

{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|Exemples de matrius segons el tipus de nombres i possible procedència.
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Matriu de nombres binaris:

::<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

::Podrien aparèixer en definir imatges en blanc i negre o definir grafs.

Matrius de nombres fraccionaris:

::<math>\begin{pmatrix}
1 & -\frac{1}{5}\\
\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}</math>

::Podrien aparèixer en resoldre sistemes d'equacions.

Matrius de nombres reals:

::<math>\begin{pmatrix}
\pi & 0\\
0 & e \\
-1 & \sqrt{2}\end{pmatrix}</math>

:: Podrien aparèixer només en problemes molt particulars.
|}

==== Notació ====

Per referir-se a cada un dels valors d'una matriu usarem els termes <math>a_{i\,j}</math><ref>Els subíndex '''i''' i '''j''' es refereixen a cadascun dels possibles valors que poden prendre dins d'una matriu concreta com un sistema de coordenades. Si la matriu és de '''n''' files i '''m''' columnes, <math>n\times m</math>, vol dir que '''i''' pot prendre els valors que van des de i=1 fins arribar a i=n i el mateix per '''j''' que pot prendre valors de j=1 fins arribar a j=m, essent aquesta notació una forma de referir-se a tots els termes d'una matriu i com que normalment no s'utilitzen amb valors majors que 9 la notació ha fet la contracció <math>a_{i,\,j}</math> <math>=a_{i\,j}</math>.</ref> de les dues següents maneres:

:{|cellspacing="5" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="410px"
|<math>A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & \cdots & a_{1\,n}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & \cdots & a_{2\,n}\\
a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & \cdots & a_{3\,n}\\
a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & \cdots & a_{4\,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m\,1} & a_{m\,2} & a_{m\,3} & a_{m\,4} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}=(a_{i\,j})_{m\times n}</math>
|}

*En direm '''matriu de dimensió <math>m\times n</math>''', els dos subíndex sempre en aquest ordre, altura m i amplada n.

:El conjunt de totes les matrius <math>m\times n</math> s'escriu <math>M_{m\times n}.</math>

*Els noms habitualment en majúscula: A, B, C, D, E, F, G, H, I, ... .

===== Exemples =====

1) Donada una matriu <math>4\times 5</math> tenim que és de la forma:

::<math>A=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 3 & 0 & 6 & 0\\
-5 & 4 & 8 & 10 & 2\\
0 & 7 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}
a_{1\,1} & a_{1\,2} & a_{1\,3} & a_{1\,4} & a_{1\,5}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{2\,3} & a_{2\,4} & a_{2\,5}\\
a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\\
a_{4\,1} & a_{4\,2} & a_{4\,3} & a_{4\,4} & a_{4\,5} \end{pmatrix}=(a_{i\;j})_{4\times 5}</math>

:Dins d'una matriu també es poden identificar matrius i elements concrets com:

:*'''Matrius columna''' <math>c_4(A)=\begin{pmatrix}-1\\
6\\
10\\
-4\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,4}\\
a_{2\,4}\\
a_{3\,4}\\
a_{4\,4}\end{pmatrix}=(a_{i\,4})_{4}.</math>

:*'''Matriu fila''' <math>f_3(A)=\begin{pmatrix}
-5 & 4 & 8 & 10 & 2\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}
a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & a_{3\,4} & a_{3\,5}\end{pmatrix}=(a_{3\;j})_{5}.</math>

:*Elements de la '''diagonal''' són els elements <math>(a_{i\,i})</math> com <math>a_{1\,1}=2,</math> <math>a_{2\,2}=3,</math> <math>a_{3\,3}=8</math> o també <math>a_{4\,4}=-4.</math>

:*'''Matriu transposada''' és la matriu resultant de convertir totes les columnes <math>c_i</math> en files <math>f_i</math> de forma que els elements <math>a_{i\,j}</math> ara ocupen el lloc simètric <math>b_{j\,i}</math> dins una nova matriu, en aquest cas obtenim una matriu 5x4:

::<math>\begin{pmatrix}
2 & 0 & -5 & 0\\
0 & 3 & 4 & 7\\
0 & 0 & 8 & 0\\
-1& 6 & 10 & -4\\
0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}=(b_{i\,j})_{5\times 4}</math>

2) '''Matrius quadrades''' si <math>m = n</math>, és a dir que l'amplada és igual a l'altura.

:*'''Matriu diagonal''' si fora de la diagonal són tots zeros:

::<math>\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

:*'''Matriu triangular superior''' si sota la diagonal són tots zeros:

::<math>\begin{pmatrix}3 & -3 & 1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 & -3 & -3\\
0 & 0 & 0 & 8 & 1\\
0 & 0 & 0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}</math>

:*'''Matriu triangular inferior''' si sobre la diagonal són tots zeros:

::<math>\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -5 & 0 & 2 & 0\\
2 & 7 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

:*'''Matriu simètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=a_{j\,i}:</math>

::<math>\begin{pmatrix}
0 & 3 & 5 & 8 & -4\\
3 & -4 & 1 & -1 & -5\\
5 & 1 & 0 & 4 & 2\\
8 & -1 & 4 & -2 & 9\\
-4 & -5 & 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}</math>

:*'''Matriu antisimètrica''' si els elements <math>a_{i\,j}=-a_{j\,i}:</math>

::<math>\begin{pmatrix}
-7 & -3 & -5 & -8 & 4\\
3 & 1 & -1 & 0 & 5\\
5 & 1 & 1 & -4 & -2\\
8 & 0 & 4 & 1 & -9\\
-4 & -5 & 2 & 9 & 1 \end{pmatrix}</math>

3) '''Matriu zero''' o nul·la si tots els elements són zeros i el seu no és excepcionalment 0:

::<math>\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

==== Operacions ====

Principals operacions on intervenen matrius, detallant cada element que s'opera.

Estalviarem escriur termes utilitzant els punts suspensius que indiquen continuació ordenada, és a dir, escriurem <math>(a_{1\,1}\;\dots\;a_{1\,8})</math> en comptes de <math>(a_{1\,1}\;\;a_{1\,2}\;\;a_{1\,3}\;\;a_{1\,4}\;\;a_{1\,5}\;\;a_{1\,6}\;\;a_{1\,7}\;\;a_{1\,8}).</math>

===== Sumes =====

Suma de dues matrius A i B es defineix per:

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff9f6" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Propietats" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|colspan="3"|<math>A+B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1\,1}  & \cdots & b_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
b_{m\,1} & \cdots & b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}+b_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}+b_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{m\,1}+b_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}+b_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(a_{i\,j}+b_{i\,j})</math> }}
|-
|'''Propietats:'''
*Propietat associativa: A+(B+C)=(A+B)+C, en aquest cas podem escriure simplement A+B+C.
*Propietat commutativa: A+B=B+A.
*Element neutre: A+0=A, en aquest cas direm que 0 és l'element zero.
*Element invers: Donat A, existeix un element -A tal que A+(-A)=0, en aquest cas direm element oposat o negatiu.
|}

D'aquesta operació no en resulten noves matrius amb dimensions diferents.<ref>Aquesta propietat s'escriu com <math>M_{m\times n}+M_{m\times n}\longrightarrow M_{m\times n}.</math></ref>

====== Exemples ======

1) <math>=\begin{pmatrix}1  & 0\\
-2 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0  & 2\\
0 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1+0  & 0+2\\
-2+0 & 1+1 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}1  & 2\\
-2 & 2 \end{pmatrix}</math>

===== Producte per escalar =====

Producte d'una constant k '''per''' una matriu A es defineix per:

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff3f0" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="80%"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>k\cdot A</math> <math>=k\cdot\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}k\cdot a_{1\,1}  & \cdots & k\cdot a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
k\cdot a_{m\,1} & \cdots & k\cdot a_{m\,n} \end{pmatrix}</math> <math>=(k\cdot a_{i\,j})</math> }}
|-
|'''Propietats:'''
*Propietat distributiva respecte la suma de matrius: a(A+B)=aA+aB.
*Propietat distributiva respecte la suma d'escalars: (a+b)A=aA+bA.
*Propietat associativa: (a\cdot b)A=a(b\cdot A).
*Element neutre respecte el producte: 1*A=A, l'anomenarem element unitat o u.
|}

===== Producte de matrius =====

Producte d'una matriu fila (f) <math>1\times n</math> per una matriu columna (c) <math>n\times 1</math>:<ref>En aquest cas particular no es posa l'índex corresponent a la dimensió 1, d'una matriu <math>n\times 1</math> o <math>1\times m</math>, ja que no serveix per a res, es diu matriu fila de dimensió n o matriu columna de dimensió m.</ref>

:<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_1  & \cdots & a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\
\vdots\\
b_n\end{pmatrix}</math> <math>=f(A)\cdot c(B)</math> <math>=a_1\cdot b_1+ \ldots + a_n\cdot b_n</math> <math>=d.</math>

Producte d'una matriu nxp per una matriu pxm donant una matriu nxm:

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff3f0" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="80%"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>A\cdot B</math> <math>=\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,p}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,p} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_{1\,1}  & \cdots & b_{1\,m}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
b_{p\,1} & \cdots & b_{p\,m} \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}f_1(A)\cdot c_1(B)  & \cdots & f_1(A)\cdot c_m(B)\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
f_n(A)\cdot c_1(B) & \cdots & f_n(A)\cdot c_m(B) \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{pmatrix}d_{1\,1}  & \cdots & d_{1\,m}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
d_{n\,1} & \cdots & d_{n\,m} \end{pmatrix}</math> }}
|-
|'''Propietats:'''
No sempre commuta el producte de matrius <math>AB\neq BA</math>
*Propietat associativa: A(BC)=(AB)C
*Propietat distributiva: A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC.
*Element neutre: <math>I_1A=AI_2=A</math>, l'anomenarem matriu identitat.
::<math>I_1</math> i <math>I_2</math> son matrius quadrades i poden ser de diferent dimensió(ordre), en aquest cas depenent de A.
:Exemple d'una matriu identitat de dimensió 5.

:::<math>\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
Parlarem invers si donat A podem obtenir <math>A^{-1}</math> tal que <math>AA^{-1}=A^{-1}A=I</math>
|}

=== Sistemes lineals ===

Els sistemes lineals estan associats a matrius de forma natural quan tenim <math>A_{mn}\cdot X=B ,</math> tenim la equivalencia:

:{|cellpadding="3"
|-
||<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\
\vdots \\
x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\
\vdots\\
b_m \end{pmatrix}</math>
|align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math>
|style="border: 2px solid #f66;"|<math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1  & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\
\vdots &   & \vdots & \vdots \\
a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math>
|}

Direm que el l'equació <math>A_{mn}\cdot X=B</math> equival a un sistema de m equacions i n incògnites. Ens interesa resoldre sistemes lineals amb n i m menors que 4, tot i que apareixen de més grans de forma puntual.

==== Resolució de sistemes lineals ====

Observem el sistema lineal següent que té associat una matriu triangular superior:

:{|cellpadding="3"
|-
||<math>\begin{pmatrix}
2 & 1 & -3 & 5 & -4\\
0 & -1 & 3 & -2 & 2\\
0 & 0 & -3 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\
y\\
z\\
t\\
s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\
0\\
0\\
-2\\
4 \end{pmatrix}</math>
|align="center" width="100px"|<math>\Leftrightarrow </math>
|style="border: 2px solid #bbb;"|<math>\begin{matrix}
2x + y -3z +5t -4s  & =0\\
\;\;\;\;\;-y+3z-2t+2s & =0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-3z+0t+s & =0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t-2s & =-2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4s & = 4 \end{matrix}</math>
|}

Per solucionar el sistema començarem a resoldre'l per l'última equació i continuarem per la de sobre successivament fins la primera equació:

:<math>4s=4</math> <math>\Rightarrow s=1</math>

:<math>t-2s=-2</math> <math>\Rightarrow t-2(1)=-2</math> <math>\Rightarrow t=0</math>

:<math>-3z+0t+s=0</math> <math>\Rightarrow -3z+0(0)+(1)=0</math> <math>\Rightarrow z=\tfrac{1}{3}</math>

:<math>-y+3z-2t+2s=0</math> <math>\Rightarrow -y+3\left(\tfrac{1}{3}\right)-2(0)+2(1)=0</math> <math>\Rightarrow y=3</math>

:<math>2x + y -3z +5t -4s=0</math> <math>\Rightarrow 2x + (3) -3\left(\tfrac{1}{3}\right) +5(0) -4(1)=0</math> <math>\Rightarrow x=1</math>

Per tant la solució és <math>\begin{pmatrix}x\\
y\\
z\\
t\\
s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\
3\\
\tfrac{1}{3}\\
0\\
1 \end{pmatrix}.</math>

==== Triangulació ====

Intentarem convertir un sistema qualsevol en un sistema associat a una matriu triangular superior seguint les regles següents:

:1) Les equacions es poden sumar o restar entre elles.

::1.1) Les equacions es poden multiplicar o dividir per un valor concret.

:2) Les equacions es poden intercanviar de lloc entre elles.

:3) L'objectiu prioritari és fer zeros sota el primer terme de cada equació.

És possible que la matriu triangular tingui zeros a la diagonal, això només vol dir que el sistema associat té més d'una solució.

===== Exemple =====

Donat el sistema següent, busqueu els valors de x, y i z.

:<math>\begin{matrix}
5x+y-7z=11\\
2x-5y+3z=4\\
x-2y+z=3 \end{matrix}\Bigg\}</math>

El primer pas és reordenar les equacions <math>eq_1 \leftrightarrow eq_3</math> per poder treballar amb nombres petits al que podríem dir diagonal:

:<math>\begin{matrix}
x-2y+z=3\\
2x-5y+3z=4\\
5x+y-7z=11 \end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_2-2\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix}
x-2y+z=3\\
\;\;0-y\;+z=-2\\
5x+y-7z=11\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-5\cdot eq_1\;\;}\begin{matrix}
x\;-2y+\;z\;=3\;\;\;\\
0\;\;-y\;+\;z\;=-2\\
0+11y-12z=-4\end{matrix}\Bigg\}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3+11\cdot eq_2\;\;}\begin{matrix}
x-2y+z=3\;\;\;\\
0\;-y\;+z=-2\\
0\;+0-z=-26\end{matrix}\Bigg\}</math>

Ara ja podem resoldre els sistema:

:<math>z=26</math>

:<math>-y+z=-2</math> <math>\rightarrow -y+(26)=-2</math> <math>\rightarrow y=28</math>

:<math>x-2y+z=3</math> <math>\rightarrow x-2(28)+(26)=3</math> <math>\rightarrow x=33</math>

Per tant els sistema té una única solució <math>(26,28,33).</math>

=== Determinant ===

El determinant és un mètode que permet mesurar la informació redundant dins d'una matriu quadrada nxn exclusivament. Amb aquest objectiu podem obtenir tres lleis que afecten a files i columnes a l'interior de la matriu:<ref>Aquestes propietats equivalen a dos de les tres condicions teòriques amb les que realment s'ha construït el '''determinant''' quedant així una idea més natural que els alumnes es poden trobar al batxillerat.</ref>

:1) Volem sumar o restar unes files a unes altres sense que es modifiqui el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes.

:2) Volem intercanviar files sense que es modifiqui en termes absoluts el determinat, el mateix ha de succeir entre columnes.

:3) Tenir una fila de zeros equival a un determinant igual a zero, el mateix ha de succeir si tenim una columna de zeros.

Tot això es va conseguir, però al punt 2 s'ha observat un canvi de signe quan intercanvies l'ordre dues files o columnes.

==== Determinant de matrius 2x2 ====

[[File:Det2x2.svg|thumb|250px|Signatura]]

El determinant d'una matriu 2x2 es calcula així:

:<math>\det\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d \end{pmatrix}</math> <math>=ad-cb.</math>

La imatge mostra una signatura per recordar l'ordre de les operacions en forma d'embut.

===== Exemple =====

:<math>\det\begin{pmatrix}
1 & 3\\
5 & 8 \end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix}
1 & 3\\
5 & 8 \end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 8-3\cdot 5</math> <math>=-7.</math>

==== Determinant de matrius 3x3 ====

[[File:Espejo.svg|thumb|150px|Signatura alternativa.]]

El determinant d'una matriu 3x3 fem:

:<math>\det\begin{pmatrix}
a_{1\;1} & a_{1\;2} & a_{1\;3}\\
a_{2\;1} & a_{2\;2} & a_{2\;3}\\
a_{3\;1} & a_{3\;2} & a_{3\;3}\end{pmatrix}</math> <math>=\color{blue}{a_{1\;1}a_{2\;2}a_{3\;3}+a_{1\;2}a_{2\;3}a_{3\;1}+a_{1\;3}a_{2\;1}a_{3\;2}}\color{black}{-(}\color{red}{a_{1\;3}a_{2\;2}a_{3\;1}+a_{1\;2}a_{2\;1}a_{3\;3}+a_{1\;1}a_{2\;3}a_{3\;2}}\color{black}{).}</math>

La imatge següent mostra una signatura particular per recordar l'ordre de les operacions

[[File:Det3x3a1.svg|350px]]

===== Exemple =====

:<math>\det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & -1\end{pmatrix}</math> <math>=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & -1\end{vmatrix}</math> <math>=1\cdot 5\cdot (-1)+2\cdot 6\cdot 7+4\cdot 8\cdot 3-(3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot (-1)+6\cdot 8\cdot 1)</math> <math>=-5+84+96-(105-8+48)</math> <math>=175-(142)=33.</math>

==== Determinant de matrius nxn ====

Per fer determinants de matrius de dimensió més grans que 3 l'objectiu és aconseguir una fila o columna on tots els termes siguin zero excepte un d'ells. Regles:

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|1) Les files poden sumar o restar a un altra tantes vegades com calgui. Idem columnes. }}
|-
|Exemple:

:<math>2=\begin{vmatrix}
1 & 3 & 0\\
0 & 2 & 0\\
3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2+f_1}</math> <math>=\begin{vmatrix}
1 & 3 & 0\\
1 & 5 & 0\\
3 & 1 & 1\end{vmatrix}=5-3=2</math>
|}

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|2) Si un valor multiplica una fila, llavors es multiplica el determinant. Idem columna. }}
|-
|Exemple:

:<math>2=\begin{vmatrix}
1 & 3 & 0\\
0 & 2 & 0\\
3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2\cdot 5}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix}
1 & 5\cdot 3 & 0\\
0 & 5\cdot 2 & 0\\
3 & 5\cdot 1 & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1 & 15 & 0\\
0 & 10 & 0\\
3 & 5 & 1\end{vmatrix}=10=2\cdot 5</math>
|}

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|3) Si intercanviem dues files, llavors el determinant canvia de signe. Idem columna. }}
|-
|Exemple:

:<math>2=\begin{vmatrix}
1 & 3 & 0\\
0 & 2 & 0\\
3 & 1 & 1\end{vmatrix}_{f_2 \leftrightarrow f_3}\rightarrow</math> <math>\begin{vmatrix}
1 & 3 & 0\\
3 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0\end{vmatrix}=-2</math>
|}

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|4) Si una fila té tots els elements zeros, llavors el determinant és zero. Idem columna. }}
|-
|Exemple:

:<math>2=\begin{vmatrix}
0 & 5 & 10^2\\
0 & \pi & 3\\
0 & -1 & 12\end{vmatrix}</math> <math>=0</math>
|}

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|5) Si aconseguim una fila o columna de zeros excepte un d'ells, llavors la fila i columna corresponent a aquest valor es poden eliminar de la matriu, quedant una matriu (n-1)x(n-1), i aquest valor surt fora de la matriu multiplicat pel signe corresponent a la seva posició segons la matriu:

:::<math>\begin{pmatrix}
+ & - & + & - & + & \cdots \\
- & + & - & + & - & \cdots \\
+ & - & + & - & + & \cdots \\
- & + & - & + & - & \cdots \\
+ & - & + & - & + & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}</math>
}}
|-
|Exemple:

:::<math>\det(A)=\begin{vmatrix}
4 & -3 & 1 & 9\\
0 & 5 & 6 & 1\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))\begin{vmatrix}
5 & 6 & 1\\
2 & 0 & 0\\
3 & 4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=(+(4))(-(2))\begin{vmatrix}
6 & 1\\
4 & 7\end{vmatrix}</math> <math>=4\cdot(-2)(6\cdot 7-4\cdot 1)=-304.</math>
|}

==== Propietats ====

1) <math>\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)</math>

2) En general <math>\det(A+ B)\neq\det(A)+\det(B)</math>

=== Tipus de sistemes ===

Per tancar l'estudi de sistemes lineals només cal classificar els aquests sistemes donant una interpretació geomètrica per entendre el que es cuina al seu interior.

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="400px"
|colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació''' d'una equació lineal.}}
|-
|
*Una equació lineal amb una incògnita pot determinar un únic punt sobre la recta real.

:{|cellspacing="0" cellpadding="0"
|-
||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]]
||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]]
||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]]
|}

*Una equació lineal amb dos incògnites pot determinar una única recta sobre el pla real.

:[[File:RectaOrigen001.svg|300px]]

*Una equació lineal amb tres incògnites pot determinar un pla sobre l'espai real.

:[[File:Plano001.svg|300px]]

Cada equació pot determinar elements amb una dimensió menys que l'espai on es troba.
|}

Buscar les solucions d'un sistema d'equacions lineals és buscar punts comuns que satisfan totes les equacions a la vegada, és a dir que busquem el lloc de trobada de tots els objectes de cada equació.

:Direm que un sistema té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les equacions quedant només '''r''' equacions.

:Direm que una matriu té '''rang=r''' quan en la seva triangulació es simplifiquen les files quedant només '''r''' files.

:Direm que la matriu associada a un sistema lineal és '''ampliada''' si s'afegeix una '''nova columna''' corresponent als termes independents de les equacions, per parlar del rang d'una matriu ampliada escriurem que '''rang=r*'''.

:::{|cellpadding="3"
|-
||Sistema <math>\begin{matrix}a_{1\,1}\cdot x_1  & \cdots & a_{1\,n}\cdot x_n & = b_1\\
\vdots &   & \vdots & \vdots \\
a_{m\,1}\cdot x_1 & \cdots & a_{m\,n}\cdot x_n & = b_m \end{matrix}</math>

|align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math>

||Matriu del sistema <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots\\
a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n}\end{pmatrix}</math>

|align="center" width="40px"|<math>\leftrightarrow </math>

||Matriu ampliada <math>\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n} & b_1\\
\vdots &  \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m\,1} & \cdots & a_{m\,n} & b_m \end{pmatrix}</math>
|}

'''Exemple'''

:Donat el següent sistema, calculeu el seu rang:

<math>\begin{cases}
\;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+2u=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\\
\;2x-2y\;\;\;\;\;\;+2t+5u=7\\
\;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t\;\;+u=-1\\
-x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_3-2\cdot eq_2\;\;}\begin{cases}
\;\;\;x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\
-x+y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5+eq_1\;\;}\begin{cases}
x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\
\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\
\;\;\;\;\;-y-2z+t+u=-1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_4+eq_2\;\;}\begin{cases}
x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\
\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3u=3\end{cases}</math> <math>\xrightarrow{\;eq_5-3\cdot eq_4\;\;}\begin{cases}
x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 2u =2\\
\;\;\;\;\;\;\;y+2z-t\;\;\;\;\;\;\;=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2t+u=3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=1\end{cases}</math> <math>\leftarrow</math> '''rang = 4'''.

Classificació dels sistemes lineals amb '''n''' incògnites.

{|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff"
|-
|<math>Sistema\;\;lineal=\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;SC\\r=r*\end{matrix}\begin{cases}\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;Determinat\;\;SCD\\r=n\end{matrix} \\
\\
\begin{matrix}Sistema\;\;Compatible\;\;indeterminat\;\;SCI\\r<n\end{matrix} \end{cases} \\
\\
\begin{matrix}Sistema\;\;Incompatible\;\;SI\\r<r*\end{matrix}\end{cases}</math>
|}

:'''SCD:''' Una única solució, un punt.

:'''SCI:''' Conjunt de solucions formant objectes de dimensió n-r.

:'''SI:''' Sense solucions, segurament perquè alguns dels objectes és paral·lel a un altre o interseccions d'altres objectes.

Ara sí podem estudiar les situacions que ens trobarem més sovint al batxillerat.

==== Sistemes lineals de dos incògnites ====

Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són rectes concurrents en un únic punt i es podran simplificar fins a restar-ne només dos equacions.

:Una interpretació geomètrica seria imaginar tan rectes secants com rectes perpendiculars en un mateix punt que podem o no veure, d'això se'n diu feix de rectes:

::{|style="border: 1px solid #99f"
|-
|style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante001.svg|200px]]
|style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante002.svg|200px]]
|style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaSecante003.svg|200px]]
|}

Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que totes les equacions són idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació.

Si un sistema lineal de dos incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles.

:Una interpretació geomètrica seria imaginar rectes que no tenen punts en comú a totes les rectes a la vegada: o bé almenys un parell de rectes són paral·leles o bé en el punt on concorren les rectes manca almenys una recta.

::{|style="border: 1px solid #99f"
|-
|style="border: 1px solid #99f"|[[File:RectaParalela001.svg|200px]]
|}

==== Sistemes lineals de tres incògnites ====

Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCD''', llavors vol dir que totes les equacions són plans que passen per un sol punt i es podran simplificar fins a restar-ne només tres equacions.

::{|style="border: 1px solid #99f"
|-
|style="border: 1px solid #99f"|[[File:TresPlanos001.svg|200px]]
|}

Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SCI''', llavors vol dir que podria ser desde equacions idèntiques excepte un múltiple que les simplifica totalment fins a restar-ne només una equació o també a més a més podria ser que tenim un feix de plans, es a dir que tots es tallen sobre una recta i per tant les seves equacions simplifiquen en només dues equacions.

::{|style="border: 1px solid #99f"
|-
|style="border: 1px solid #99f"|[[File:Diedro001.svg|200px]]
|}

Si un sistema lineal de tres incògnites és '''SI''', llavors la simplificació genera contradiccions o situacions impossibles.

=== Regla de Cramer ===

Gabriel Cramer(1704-1752) va ser el primer en fer la resolució de sistemes lineals amb el que avui anomenem determinats, d'aquí el seu nom al mètode.

Donat un sistema lineal '''nxn''':

::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\
\vdots \\
x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\
\vdots\\
b_n \end{pmatrix}</math>

La solució general de <math>x_i</math> és la divisió de dos determinants, al denominador el determinant de la matriu associada i al numerador el determinant de la mateixa matriu però substituint la columna ('''i''') per la columna del terme independent i encara que no sigui molt rigorós indicat així:

::<math>x_i=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,i-1} & b_1 & a_{1\,i+1} & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,i-1} & b_n & a_{n\,i+1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & \cdots & a_{1\,n}\\
\vdots &  \ddots & \vdots \\
a_{n\,1} & \cdots & a_{n\,n} \end{vmatrix}}</math>

Clarament per estar ben definit necessitem que el determinant del denominador sigui diferent de zero i llavors el sistema és '''SCD'''.

L'únic inconvenient és que mentre més gran el sistema, més determinats s'ha de fer i per tant és prohibitiu el seu ús en la computació ja que els càlculs creixen desorbitadament. De fet el sistema de triangulació és uns dels més eficients i la resta de mètodes són variants d'aquest.

==== Resolució de sistemes 2x2 ====

Donat el sistema:

::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\
x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\
b_2 \end{pmatrix}</math>

Llavors:

::{|
|-
|<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_{1}  & a_{1\,2}\\
b_{2} & a_{2\,2}  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}  \end{vmatrix}}</math>
|align="center" width="50px"|i
|<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & b_{1}\\
a_{2\,1} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}  \end{vmatrix}}</math>
|}

===== Exemples =====

Busquem solucions al sistema <math>\begin{matrix}
x-y & =3\\
2x+y & =6 \end{matrix}</math>

:<math>\det(A)</math> <math>=\det\begin{pmatrix}
1 & -1\\
2 & 1 \end{pmatrix}</math> <math>=1\cdot 1-(2\cdot (-1))</math> <math>=3.</math>

:<math>x</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix}
3 & -1\\
6 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
1 & -1\\
2 & 1\end{vmatrix}}\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y</math> <math>=\frac{\begin{vmatrix}
1 & 3\\
2 & 6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
1 & -1\\
2 & 1\end{vmatrix}}.</math>

:<math>x=\frac{9}{3}=3\;\;\;\;</math> i <math>\;\;\;\;y=\frac{0}{3}=0</math>

==== Resolució de sistemes 3x3 ====

Donat el sistema:

::<math>\begin{pmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\
a_{2\,1}  & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\
a_{3\,1}  & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\
x_2\\
x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\
b_2\\
b_3 \end{pmatrix}</math>

Llavors:

::{|
|-
|<math>x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1  & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\
b_2  & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\
b_3  & a_{3\,2} & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\
a_{2\,1}  & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\
a_{3\,1}  & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math>
|align="center" width="50px"|,
|<math>x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & b_1 & a_{1\,3}\\
a_{2\,1}  & b_2 & a_{2\,3}\\
a_{3\,1}  & b_3 & a_{3\,3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\
a_{2\,1}  & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\
a_{3\,1}  & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math>
|align="center" width="50px"|i
|<math>x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2} & b_1\\
a_{2\,1}  & a_{2\,2} & b_2\\
a_{3\,1}  & a_{3\,2} & b_3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1\,1}  & a_{1\,2} & a_{1\,3}\\
a_{2\,1}  & a_{2\,2} & a_{2\,3}\\
a_{3\,1}  & a_{3\,2} & a_{3\,3}\end{vmatrix}}</math>
|}

===== Exemples =====

Busquem les solucions del sistema <math>\begin{cases}x+y=1\\
x+z=2\\
y+z=3\end{cases}</math>

:<math>x=\frac{\begin{vmatrix}
1  & 1 & 0\\
2  & 0 & 1\\
3  & 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
1  & 1 & 0\\
1  & 0 & 1\\
0  & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{0}{-2}=0</math> 

:<math>y=\frac{\begin{vmatrix}
1  & 1 & 0\\
1  & 2 & 1\\
0  & 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
1  & 1 & 0\\
1  & 0 & 1\\
0  & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-2}{-2}=1</math> 

:<math>z=\frac{\begin{vmatrix}
1  & 1 & 1\\
1  & 0 & 2\\
0  & 1 & 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
1  & 1 & 0\\
1  & 0 & 1\\
0  & 1 & 1\end{vmatrix}}</math> <math>=\frac{-4}{-2}=2</math>

== Geometria ==

La geometria ha canviat molt des del temps d'Euclides(300 aC), en aquest curs només veurem el treball que es coneix amb el nom de "Espai vectorial euclidià" però sense entrar en els fonaments d'aquest espai particular. Donarem els elements necessaris per treballar detalladament amb diversos objectes.

=== Elements ===

==== Els punts ====

Només cal saber que són els elements més simples a partir dels quals es poden fer tots els altres elements i que es consideren com la base d'altres conceptes.

'''Exemples'''

*Un punt sobre la recta real és un el element del conjunt <math>\mathbb{R}</math> i coincideix amb el concepte d'un nombre real: el 5, el -4, el 1000, etc.

:{|cellspacing="0" cellpadding="0"
|-
||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]]
||[[File:SemiRectaDot.svg|100px]]
||[[File:SemiRectaVc.svg|100px]]
|}

*Un punt sobre el pla real és un element del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2</math> i la seva forma d'escriure és <math>(3,5)</math> on 3 és la coordenada horitzontal i 5 és la coordenada vertical d'aquest punt.

[[File:Coordinate with Origin.svg|200px]]

*Un punt sobre l'espai real és un elements del conjunt <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^3</math> i la seva forma d'escriure és <math>(1,-3,7)</math> on 1 és una coordenada horitzontal(com llargada), -3 és una segona coordenada horitzontal(com amplada) i 7 és la coordenada vertical(simplement s'estén verticalment sobre de les altres dues).

[[File:3D coordinate system.svg|200px]]

Es té constància que el primer en idear aquestes representacions va ser René Descartes(1596-1650) i és així quan es va iniciar la nova geometria analítica permetent les representacions gràfiques.

==== Els vectors ====

[[File:Vector AB from A to B.svg|right|300px]]

El concepte de vector a la geometria<ref>Les primeres aplicacions no utilitzen punts perquè només volien saber el seu mòdul i la direcció, i res més, però posteriorment s'ha donat un suport teòric molt més acurat del concepte de vector que és el que s'utilitza actualment a la geometria analítica</ref> està lligat a dos punts.

'''Definició i notació:'''

Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^2</math>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2)</math> és i està format de la següent:

:<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2)</math>

Donat dos punts '''A''' i '''B''' de <math>\mathbb{R}^3</math>, direm que un vector amb origen <math>A=(a_1,\;a_2,\;a_3)</math> i destí <math>B=(b_1,\;b_2,\;b_3)</math> és i està format de la següent:

:<math>\vec{v}=\vec{AB}=B-A=(b_1-a_1,\;b_2-a_2,\;b_3-a_3)</math>

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="500px"
|colspan="2"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Observació'''}}
|-
|Respectant la idea de resta de matrius files obtenim un nou element, que segueix sent una matriu fila, l'anomenarem vector.

*Dels valors que té ja no en direm coordenades sinó components.

Tenim doncs les propietats següents:

*Si tenim un origen i un vector llavors tenim el destí.

*Si tenim un origen i un destí llavors tenim el vector.

*Si tenim un vector i un destí llavors tenim l'origen.

Podem utilitzar algebraicament els punts i vectors com:

:<math>\vec{v}=B-A</math>

:<math>\vec{v}+A=B</math>

:<math>A=B-\vec{v}</math>
|}

Per utilitzar vectors necessitem les principals operacions que definim tot seguit i fixeu-vos la semblança amb les operacions de matrius:

===== Suma de vectors =====

Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> la suma és:

:<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).</math>

Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> la suma és:

:<math>\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).</math>

===== Producte per escalar =====

Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és:

:<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2).</math>

Donat un vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> i un escalar <math>\lambda</math> de <math>\mathbb{R}</math> el seu producte és:

:<math>\vec{w}=\lambda\cdot\vec{u}=(\lambda\cdot u_1,\;\lambda\cdot u_2,\;\lambda\cdot u_3).</math>

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exercicis:'''}}
|-
|1) Estic en el punt <math>A=(5,\;5),</math> casa meva està en el punt <math>B=(2,\;3).</math> Si camino en línia recta 5 vegades més arribaria a la biblioteca. ¿En quin lloc està la biblioteca?

*El camí que va a casa meva ve determinat pel vector:

::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(2,\;3)-(5,\;5)</math> <math>(-3,\;-2).</math>

*Per tant si camino, des d'on estic i en línea recta, 5 vegades més, estic fent aquesta operació:

::<math>A+5\cdot\vec{AB}</math> <math>=(5,\;5)+5\cdot (-3,\;-2)</math> <math>=(5,\;5)+(5\cdot (-3),\;5\cdot (-2))</math> <math>=(5,\;5)+(-15,\;-10)</math> <math>=(-10,\;-5)</math>

Solució: La biblioteca està al punt <math>C=(-10,\;-5).</math>

2) Dos arbres estan en els punts <math>A=(2,\;3)</math> i <math>B=(4,\;1),</math> però a mig camí hi ha un tresor. ¿On?

*El camí de A a B és:

::<math>\vec{AB}</math> <math>=B-A</math> <math>=(4,\;1)-(2,\;3)</math> <math>=(2,\;-2).</math>

*Per trobar el punt mig del camí de A a B només cal fer la meitat del recorregut, és a dir:

::<math>\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=\frac{(2,\;-2)}{2}</math> <math>=\tfrac{1}{2}(2,\;-2)</math> <math>=(\tfrac{1}{2}2,\;\tfrac{1}{2}(-2))</math> <math>=(1,\;-1).</math>

Solució: el punt que busquem és <math>C</math> <math>=A+\frac{\vec{AB}}{2}</math> <math>=(2,\;3)+(1,\;-1)</math> <math>=(3,\;2)</math> 
|}

===== Producte a escalar =====

Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2</math> el seu producte és:

:<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}v_1\\
v_2\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2.</math>

Donats dos vectors <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> i <math>\vec{v}=(v_1,\;v_2,\;v_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3</math> el seu producte és:

:<math>\vec{u}\cdot\vec{v}=(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}v_1\\
v_2\\
v_3\end{pmatrix}=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3=3+0+15=18.</math>

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exemple:'''}}
|-
|Sigui <math>\vec{u}=(3,\;4,\;5)</math> i <math>\vec{v}=(1,\;0,\;3)</math> llavors el producte és:

:<math>k=\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,\;4,\;5)\begin{pmatrix}1\\
0\\
3\end{pmatrix}=3\cdot 1+4\cdot 0+5\cdot 3.</math>
|}

====== Longitud d'un vector ======

Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2)</math> en <math>\mathbb{R}^2,</math> la seva longitud és:

:<math>l_\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2)\begin{pmatrix}u_1\\
u_2\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.</math>

Donat un vector <math>\vec{u}=(u_1,\;u_2,\;u_3)</math> en <math>\mathbb{R}^3,</math> la seva longitud és:

:<math>l_\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{(u_1,\;u_2,\;u_3)\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\
u_3\end{pmatrix}}</math> <math>=\sqrt{u_1\cdot u_1+u_2\cdot u_2+u_3\cdot u_3}</math> <math>=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.</math>

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|'''Exemples:'''}}
|-
|[[File:Vector(1,1).svg|150px|right]]

1) Longitud del vector <math>\vec{u}=(1,\;1),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{u}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>

:Observem que la longitud del vector és la hipotenusa del triangle rectangle dibuixat, i per tant, és equivalent al teorema de Pitàgores.

2) Longitud del vector <math>\vec{w}=(1,\;-1,\;0),</math> aplicant la fórmula tenim: <math>l_\vec{w}=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2}</math>
|}

====== Vectors unitaris ======

Per obtenir vectors unitaris, que són vectors de longitud 1, només cal extreure la seva longitud, per tant, hem de dividir el vector per la seva longitud:

:<math>\hat{u}=\frac{\vec{u}}{l_u}</math>

Construït així, aquest vector <math>\hat{u}</math> té longitud 1.

====== Projecció d'un vector ======

Primer de tot necessitem una direcció on volem projectar, es donada amb un vector unitari <math>\hat{u}</math>, llavors per projectar-hi <math>\vec{v}</math> farem:

*La longitud del vector projectat és: <math>l_\vec{p}=\vec{v}\cdot\hat{u}.</math>

Per tant el vector projectat és: <math>\vec{p}=l_\vec{p}\cdot\hat{u}</math>

====== Angle entre dos vectors ======

Per calcular l'angle entre dos vectors qualsevols <math>\vec{u}</math> i <math>\vec{v}</math> s'utilitza la fórmula:

:{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="650px"
|colspan="3"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|<math>cos(\alpha)=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{l_\vec{u}\cdot l_\vec{v}}</math>}}
|-
|Per calcular l'angle entre <math>\vec{v}</math> i <math>\hat{u}</math> només cal aplicar la fórmula trigonomètrica: <math>cos(\alpha)=\frac{l_\vec{p}}{l_\vec{u}}=\frac{\vec{v}\cdot\hat{u}}{l_\vec{v}}</math>
|}

===== Base =====

Les bases de vectors s'utilitzen per construir tots els possibles vectors d'un espai de treball.

El conjunt de vectors més senzills i utilitzats com a base, anomenat base canònica, a <math>\mathbb{R}^3</math> és:

:<math>\hat{i}=(1,\;0,\;0)\;,\;\;\hat{j}=(0,\;1,\;0)\;\;i\;\;\hat{k}=(0,\;0,\;1)</math>

====== Combinació lineal de vectors ======

Combinació lineal és fer sumes i restes de vectors amb productes per escalar.

'''Exemple''':

Donats els vectors <math>\vec{u}=(1,\;-2,\;0)</math>, <math>\vec{v}=(0,\;5,\;-1)</math> i <math>\vec{s}=(-3,\;1,\;4)</math> calculeu <math>\vec{w}:</math>

1) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}+3\cdot \vec{s}</math> llavors:

:<math>\vec{w}=(1,\;-2,\;0)+(-1)\cdot (0,\;5,\;-1)+3\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(1,\;-2,\;0)+(0,\;-5,\;1)+(-9,\;3,\;12)</math> <math>=(-8,\;-4,\;13)</math>

Tenim que <math>\vec{w}=(-8,\;-4,\;13)</math>

2) Si <math>\vec{w}</math> és la combinació lineal <math>\vec{w}=5\cdot\vec{u}+2\cdot\vec{v}-4\cdot \vec{s}</math> llavors:

:<math>\vec{w}=5\cdot (1,\;-2,\;0)+2\cdot (0,\;5,\;-1)+(-4)\cdot (-3,\;1,\;4)</math> <math>=(5,\;-10,\;0)+(0,\;10,\;-2)+(12,\;-4,\;-16)</math> <math>=(17,\;-4,\;-18)</math>

Tenim que <math>\vec{w}=(17,\;-4,\;-18)</math>

== Notes i referències ==

[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]