View source for Không gian vector

Một không gian vector trên trường số F là một tập V kèm theo phép toán hai ngôi. Các phần tử trong V gọi là những vector, các phần tử trong F gọi là vô hướng. Phép toán đầu tiên là phép cộng vector, cộng 2 vector v và w cho ra một vector thứ 3 v + w. Phép toán thứ hai là phép nhân một vô hướng a với bất kỳ vector v nào và kết quả cho ra một vector mới av, phép toán này gọi là phép nhân vô hướng của v với a. Các phép nhân và cộng trong không gian vector phải thỏa mãn các tiên đề sau,[1] với u, v và w là các vector trong tập V, a và b là các vô hướng trong trường số F.

{| border="0" style="width:100%;"
|-
| '''Tiên đề''' ||'''Công thức biểu diễn'''
|-
| Tính [[kết hợp]] của phép cộng || ''u'' + (''v'' + ''w'') = (''u'' + ''v'') + ''w''
|- style="background:#F8F4FF;"
| Tính [[giao hoán]] của phép cộng || ''u'' + ''v'' = ''v'' + ''u''
|-
| [[Phần tử trung hòa]] của phép cộng || Tồn tại một phần tử 0 ∈ ''V'', sao cho ''v'' + 0 = ''v'' với mọi ''v'' ∈ ''V''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Phần tử nghịch đảo]] của phép cộng || Với mọi ''v'' ∈ V, tồn tại một phần tử −''v'' ∈ ''V'', gọi là ''phần tử nghịch đảo'' của ''v'', sao cho ''v'' + (−''v'') = 0
|-
| Tính [[Thuộc tính phân phối|phân phối]] của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vector&emsp;&emsp;||''a''(''u'' + ''v'') = ''au'' + ''av''
|- style="background:#F8F4FF;"
| Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vô hướng||  (''a'' + ''b'')''v'' = ''av'' + ''bv''
|-
| Phép nhân vô hướng kết hợp với phép nhân trong trường các số vô hướng ||  ''a''(''bv'') = (''ab'')''v'' Tiên đề này không khẳng định về tính kết hợp của một toán tử, bởi vì có hai toán tử đang nói đến, nhân vô hướng: ''bv''; và nhân trên trường số: ''ab''.
|- style="background:#F8F4FF;"
| Phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng ||  1''v'' = ''v'', với 1 là phần tử đơn vị của phép nhân trong trường số '''F'''.
|}

===Ánh xạ tuyến tính===
Cho 2 không gian vector ''V'' và ''W'' trên trường '''F''', một biến đổi tuyến tính (còn gọi là [[ánh xạ tuyến tính]]) là một [[ánh xạ]]:

: <math> T:V\to W </math>

có tính kết hợp với phép cộng và phép nhân vô hướng:

: <math> T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(av)=aT(v) </math>

với mọi vector ''u'',''v'' ∈ ''V'' và một vô hướng ''a'' ∈ '''F'''.
===Tham khảo===
[[Category:VI]]