View source for Introducció a les funcions IV

Des d'un punt de vista més rigorós, el tema de funció és semblant al que hem fet en altres temes i seccions. Una conseqüència discreta de les funcions és la representació gràfica en diverses matèries per fer estudi de dades en àrees molt concretes: productivitat, consum, natalitat, canvis de temperatura, preu dels productes, etc.

Les funcions a les matemàtiques és de gran utilitat per fer anàlisi rigorós del comportament de determinats successos, fins i tot, es poden fer estudis abstractes com a preludi elemental d'unes eines molt potents en cursos més avançats i on aquesta definició constaran com a assumides.

Aquesta secció està preparada per fer-se íntegrament o parcialment si ja s'ha fet el tema de [[Funcions_b%C3%A0siques_IV|funcion bàsiques]]

== Definició de funció ==

La definició de les funcions a l'ESO només aconsegueix relacionar parells de nombres (x, y) al pla on usem coordenades, però, dos nombres x i y es considera un punt A = (x, y) , per tant, una funció establirà una serie de punts al pla deixant una mena de dibuix que es diu gràfic de la funció.

*El primer conjunt de nombres és anomenat '''domini''', '''X''', i pot tenir la forma de recta real <math>\mathbb{R}</math>, semirecta com <math>(-\infty,\,a]</math> o d'intervals.

*El segon conjunt de nombres és anomenat '''recorregut''' (o imatge), '''Y'''.

Compta amb la '''restricció''' que fa la nostra definició de funció:

{|style="border: 1px solid #b85; background:#fed" cellspacing="8"
|'''Definició''': Una '''funció''' és una relació entre dos conjunts de nombres que donat un element '''x''' del primer anomenat domini, assignarà '''un únic''' element '''y''' numèric del segon conjunt anomenat recorregut.
|}

Podem dir que <math>y=f(x)</math> es pot entendre i llegir dient que podríem obtenir '''y''' fent diferents operacions amb la '''x'''.

{| class="wikitable" align="right" cellpadding="0" cellspacing="3"
!colspan=2 style="text-align:left" |Esquema per a funcions
|-
|valign="top"|<math>\begin{array}{rc}
f:&X \to Y\\
&\,x \mapsto y
\end{array}</math>
|valign="top"|<math>\begin{array}{c}
X \xrightarrow{\;\;\;f\;\;\;} Y\\
\,x \mapsto y
\end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|'''Notacions''':
*El nom d'una funció pot ser <math>f,g,h,i,\,...</math>.

*La <math>X</math> majúscula indica el conjunt '''domini''' de la funció.

*La <math>Y</math> majúscula indica el conjunt '''recorregut''' de la funció.

|valign="top"|'''Una taula de valors''':
|valign="top"|<math>\begin{array}{c|lr}
x&y&=f(x)\\
\hline a&1\\
b&2\\
c&3\\
d&4\\
\end{array}</math>
|}

La representació es fa exactament igual com les equacions, partint de la taula de dos columnes obtenim els punts necessaris per fer la representació.

=== Exemples ===

{|
|valign="top"|1)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&X&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}& Y\\&x &\mapsto& x-1 \end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 0&-1\\1&0\\2&1\\3&2\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|2)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[0,\,1]&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}& \mathbb{R}\\&x& \mapsto& 2-x \end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 0&2\\0,1&1,9\\0,2&1,8\\0,3&1,7\\ \vdots& \vdots \\ 1&1\end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|3)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&(1,\,2)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto& 1\end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline (1)&1\\1,1&1\\1,2&1\\1,3&1\\ \vdots& \vdots \\ (2)&1\end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|4)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[-1,\,0)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&-1\end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline -1&-1\\-0,9&-1\\-0,8&-1\\-0,7&-1\\ \vdots& \vdots \\ (0)&-1\end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|5)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&(-1,\,1]&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline(-1)&1\\-0,5&0,25\\0&0\\0,5&0,25\\ \vdots& \vdots \\ 1&1\end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|6)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[0,\,+\infty)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\sqrt{x}\end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 0&0\\1&1\\4&2\\9&3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|}

{|
|valign="top"|7)
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&[1,\,+\infty)&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\cfrac{1}{x}\end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline 1&1\\2&0,5\\4&0,25\\5&0,2\\10&0,1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|}

=== Funcions definides a trossos ===

Per detallar una funció, es pot fer de forma més sintètica i reduïda, parlant només de <math>f(x)=...</math> i, a continuació, el seu domini on es considera aquesta '''x'''.

'''Exemples'''

1) Funció que assigna '''1''' als nombres més petits que dos i assigna '''0''' als nombres més grans o iguals que dos.

::<math>f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ Si } x<2 \\0 & \text{ Si } 2\le x \end{cases}</math>

2) Funció que assigna '''0''' als nombres més petits o igual que zero i també més grans que dos, assigna '''x''' als nombres entre zero i u,i assigna '''2-x''' als nombres entre u i dos ambdós inclosos.

::<math>f(x)=\begin{cases} 0 &\text{ Si } x\le 0 \text{ o } 2<x\\x &\text{ Si } 0<x<1\\2-x &\text{ Si } 1\le x\le 2 \end{cases}</math>

3) Funció amb 7 parts?:

::<math>f(x)=\begin{cases} 1+x &\text{ Si } 0\le x<1\\2 &\text{ Si } 1\le x\le 2\\x &\text{ Si } 2<x\le 3\\2x-3 &\text{ Si } 3<x<4\\21-4x &\text{ Si } 4<x<5\\1 &\text{ Resta de cassos} \end{cases}</math>

=== Funció '''valor absolut''' ===

De les més utilitzades en totes les àrees del coneixement.

::<math>f(x)=|x|=\begin{cases} -x & \text{ si } x<0 \\x & \text{ si } 0\le x \end{cases}</math>

Vegem com és la taula per cada una de les dues excepcions:

:{|
|<math>\begin{array}{c|c} x&-x\\ \hline (0)&0\\-1&1\\-2&2\\-3&3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>||<math>\begin{array}{c|c} x&x\\ \hline 0&0\\1&1\\2&2\\3&3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|}

==== Observació ====

La distància o '''passa''' entre valors que anem provant és de una unitat: h = 1

*Per fer detalls més delicats podem escollir valors més petits: h = 0,5

*Si h és molt petit, llavors la taula serà molt gran i trigarem molt en omplir-la.

'''Exemple''' de passa h = 0,1:

:<math>\begin{array}{c|c} x&|x|\\ \hline 0&0\\0,1&0,1\\0,2&0,2\\0,3&0,3\\0,4&0,4\\0,5&0,5\\0,6&0,6\\0,7&0,7\\0,8&0,8\\0,9&0,9\\1&1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>

Observeu que per representar el tros que va del zero a l'u hem fet massa càlculs per res. Pensem per tant en fer càlculs estratègicament situats per estalviar càlculs innecessaris.

'''Exemple''' de programa que representa el <math>\sin(x*60)</math> amb diferents fragments nh=6 però que pot ser nh=9, nh=18 o nh=36.

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Dibuix en format *.svg que inclou un miniprograma que representa funcions editant el codi.

Arxiu per copiar i desar amb el Bloc de notes: tipus *.*, format UTF-8 i un nom com Program.svg}}
|-
|<syntaxhighlight lang="xml">
<svg width="1000" height="1000" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" onload="create(evt)">
<script><![CDATA[
var xmlns="http://www.w3.org/2000/svg";
var ax1=-3;ax2=6;axw=1000;by1=-7;by2=6;byw=1000;//Interval:X,(ax1,ax2), Y,(by1,by2).
var nh=6;//numero de pasos o fragmentos.
var Root=document.documentElement//Contenedor de elementos.
function create(){
 var vy;vx=ax1;h=(ax2-ax1)/nh;dim=axw/(ax2-ax1);//variables y ajuste del marco.
 var cadena="m";ejes="m";cuadri="";by2=by1+(ax2-ax1);//marco cuadrado.
G=document.createElementNS(xmlns,"g");Root.appendChild(G);G.setAttributeNS(null,"transform","scale("+(dim)+"),translate("+(-ax1)+","+(by2)+")");
 P=document.createElementNS(xmlns,"path");E=document.createElementNS(xmlns,"path");
 F=document.createElementNS(xmlns,"path");T=document.createElementNS(xmlns,"text");//creadores.

 vy=fx(vx);cadena=cadena+(vx)+","+(-vy)+"L";
 for(vx=vx+h;vx<ax2+h;vx=vx+h,cadena=cadena+" "){ vy=fx(vx);cadena=cadena+(vx)+","+(-vy);}

 ejes=ejes+(0)+","+(-by1)+"L"+(0)+","+(-by2)+"q0.05,0.3 0.1,0.4q-0.1,-0.1 -0.2,0q0.05,-0.1 0.1,-0.4";//eje y.
 ejes=ejes+"M"+(ax1)+","+(0)+"L"+(ax2)+","+(0)+"q-0.3,-0.05 -0.4,-0.1q0.1,0.1 0,0.2q0.1,-0.05 0.4,-0.1";//eje x.
 for(i=0;i<(ax2-ax1)+1 || i<(by2-by1)+1;i++){
  cuadri=cuadri+"M"+(Math.round(ax1-1)+i)+","+(-by1)+"L"+(Math.round(ax1-1)+i)+","+(-by2);
  cuadri=cuadri+"M"+(ax1)+","+(-Math.round(by1-1)-i)+"L"+(ax2)+","+(-Math.round(by1-1)-i);
 }
 T.setAttributeNS(null,"x",30);T.setAttributeNS(null,"y",150);T.setAttributeNS(null,"font-size","18pt");
 F.setAttributeNS(null,"d",cuadri);F.setAttributeNS(null,"stroke","#444");F.setAttributeNS(null,"opacity","0.3");
F.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);F.setAttributeNS(null,"fill","none");G.appendChild(F);
 E.setAttributeNS(null,"d",ejes);E.setAttributeNS(null,"stroke","black");
E.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);E.setAttributeNS(null,"fill","black");G.appendChild(E);
 P.setAttributeNS(null,"d",cadena);P.setAttributeNS(null,"stroke","#00f");P.setAttributeNS(null,"stroke-width",0.03);
P.setAttributeNS(null,"fill","none");G.appendChild(P);

 Msg=document.createTextNode(cuadri);T.appendChild(Msg);// G.appendChild(T);//sonda de cadena.
}//Para fOrmulas matemAticas: Math.sin(), Math.Cos(), ...

function fx(x){return Math.sin(x*3.14/3);}//<<---******FUNCIoN f a representar.*********

]]></script>
 <path d="m1,1h998v998h-998z" stroke="#f5f" stroke-width="2" fill="none"/>
</svg>
</syntaxhighlight>
|}

=== Funció '''part entera''' ===

També es pot fer una funció de cada tipus de aproximació:

La funció d'aproximació per truncament, més conegut com '''part entera''':[[File:Función Cu int.svg|right|280px]]

::<math>f(x)=[x]</math>

:Taula per analitzar:

::<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline  \vdots& \vdots \\ 0,8&0\\0,9&0\\1&1\\1,1&1\\1,2&1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>

:No és una funció a trossos encara que estigui molt fragmentada.

Fem ara la funció d'aproximació per '''arrodoniment''':[[File:Función Cu redon.svg|right|280px]]

::<math>f(x)=\bar x</math>

:Taula per analitzar:

::<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline  \vdots& \vdots \\ 0,3&0\\0,4&0\\0,5&1\\0,6&1\\0,7&1\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>

:Tampoc és una funció a trossos encara que estigui molt fragmentada. En programació es pot trobar com: Math.round(x) en javaScript.

== Anàlisi gràfic ==

Mitjançant l'anàlisi gràfic és quan podem comprendre amb més fidelitat el comportament de cada funció. Es demana molt aquest tipus d'apreciacions per poder assegurar que es segueix el contingut del tema per anar-hi més lluny en un futur.

=== Continuïtat i discontinuïtat ===

La '''continuïtat''' o no d'una funció és el que el seu nom indica; només hem de comprovar que no hi ha salts al seu gràfic '''dins''' del seu domini. Per imaginar-ho, hem de pensar que:
:Idealment una funció és '''continua''' quan '''es pot''' dibuixar el seu gràfic amb un llapis sense necessitat d'aixecar-lo del full.
:Idealment una funció és '''discontinua''' quan '''no es pot''' dibuixar el seu gràfica amb un llapis sense aixecar-lo del full.

==== Exemples ====

1) Funció contínua:

[[File:Función Trigonométrica R100.svg|400px]]

2) Funció no contínua:

[[File:Discontinuity removable.eps.png|200px]][[File:Discontinuity jump.eps.png|200px]][[File:Función xy discontinua 23.svg|200px]]

=== Creixement i decreixement ===

El creixement o decreixement només té sentit si sabem situar-nos, considerant que avancem pel gràfic anant en el sentit al infinit positiu.

==== Exemples ====

1) Creixement en una funció:

[[File:Monotonicity example1.png|150px]]

2) Decreixement en una funció:

[[File:Monotonicity example2.png|150px]]

=== Màxims i mínims ===

Parlem de màxims i mínims relatius(locals) quan analitzem un lloc concret del seu domini, per tant:

*Es considera '''un''' màxim relatiu a un tros del domini quan és el punt més gran o més alt.

*Es considera '''un''' mínim relatiu a un tros del domini quan és el punt més petit o més fondo.

Parlem de màxims i mínims absoluts(globals) quan es el punt més gran o més petit respectivament.

[[File:Extrema example es.svg|280px]]

=== Simetries i periodicitat ===

Funció parella és la funció amb simetria vertical:

:[[File:Función par 01.svg|300px]]

Funció imparella és la funció amb simetria central, és a dir, simetria respecte el punt O = (0, 0):

:[[File:Función impar 01.svg|300px]]

Funció periòdica és la funció que repeteix exactament i exclusivament una part concreta del seu gràfic al llarg del eix X:

:[[File:Sine waves different frequencies.svg|400px]]

:[[File:Periodisk-växelstorhet.svg|300px]]

=== Trasllat de funcions ===

Per traslladar tots els punts d'una funció, necessitem un vector que ens digui el destí de tots els punts.

{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible {{#ifeq: {{{plegada|sí}}}|no||mw-collapsed}}" width="75%"
| border="1"|{{#if:{{{título|}}}|{{{título|}}}|Dada la funció <math>f(x)</math> la seva funció traslladada amb el vector <math>\vec{(a,b)}</math> dona una funció:

::<math>g(x)=f(x-a)+b</math> }}
|-
|'''Demostració:'''

Donada <math>f(x)</math> els seus punts son de la forma <math>(x,f(x))</math> i sumant el vector <math>\vec{(a,b)}</math> dona:

::<math>(x,f(x))+\vec{(a,b)}=(x+a,f(x)+b)</math>

El truc de canvi de variable <math>z=x+a</math> i per tant  <math>z-a=x</math> per tant queda:

::<math>(x+a,f(x)+b)=(z,f(z-a)+b)</math>

Finalment maquillant amb z=x tenim:

::<math>(x,f(x-a)+b)</math>

És a dir <math>g(x)=(x,f(x-a)+b)</math>
|}

Interpretació gràfica sobre taules, suposant que tenim la funció <math>f(x)=x^2</math>, traslladar la funció <math>\vec{(2,3)}</math> dona <math>g(x)=(x-2)^2+3</math>:

{|
|valign="top"|<math>\begin{array}{c|c} x&f(x)\\ \hline \vdots& \vdots\\ -3&9\\-2&4\\-1&1\\0&0\\1&1\\2&4\\3&9\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|valign="top"|<math>\begin{array}{c|c} x&g(x)\\ \hline \vdots& \vdots\\ -1&12\\0&7\\1&4\\2&3\\3&4\\4&7\\5&12\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|}

Vigilem les taules comparant per columnes:

*Veieu que la primera columna de la segona taula és la primera columna de la primera taula sumant 2 als seus valors.

*Veieu que la segona columna de la segona taula és la segona columna de la primera taula sumant 3 als seus valors.

És una manera mólt ràpida de calcular-ho.

Exemples:

*[https://www.youtube.com/watch?v=drMwmtQV_L0 Tutorial per traslladar la funció <math>f(x)=|x|</math>.]

*[https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/stretching-functions/v/shifting-and-reflecting-functions Trasllats i reflexions.]

*[https://www.youtube.com/watch?v=8yWFs-DYurk La primera part és interessant per <math>f(x)=(x)^2</math>, la segona part fa comparatives per a qui interessi.]

== Funcions polinòmiques ==

Són funcions que es poden determinar mitjançant un polinomi com <math>f(x)=P(x)</math>, és a dir si <math>P(x)=2x^3-x+3</math> llavors:

:<math>f(x)=2x^3-x+3</math>

{|
|valign="top"| <math>\begin{array}{rccc} f:&X&\xrightarrow{\;\;\;\;\;}& Y\\&x &\mapsto& 2x^3-x+3 \end{array}</math>
|valign="top"|Taula:||<math>\begin{array}{c|c} x&2x^3-x+3\\ \hline 0&2\cdot 0-0+3\\1&2\cdot 1 - 1+3\\ \vdots& \vdots \end{array}</math>
|}

Per tant si té taula llavors es pot representar.

A continuació es presenten les funcions ordenades segons el seu grau donant importància a aspectes visuals del seu gràfic.

=== Funcions de polinomis de grau 1 o menor ===

Són les funcions del tipus <math>f(x)=ax+b.</math>

Aquestes funcions són gràficament rectes al pla.

==== Classificació ====

===== Funció constant =====
[[File:Función constante 01.svg|right|250px]]

Les '''funcions constants''' són del tipus <math>f(x)=b</math> on b és un valor donat.

Exemples de funcions constants:

1) <math>f(x)=8</math>

2) <math>g(x)=4,2</math>

3) <math>h(x)=-3,6</math>

Visualment el seus gràfic de cadascuna és una única línia horitzontal

===== Funcions afins =====
[[File:Linear functions 03.svg|right|250px]]

Les '''funcions afins''' són del tipus <math>f(x)=ax+b</math> amb <math>a\neq 0.</math>

Exemples de funcions afins:

1) <math>f(x)=2x+1</math>

2) <math>g(x)=\frac{x}{2}+1</math>

3) <math>h(x)=-\frac{x}{5}+1</math>

Visualment el seu gràfic de cadascuna és una única línia de qualsevol mena a excepció de les línies verticals.

====== Funcions lineals ======
[[File:Linear functions 01.svg|right|250px]]

Les '''funcions lineals''' són del tipus <math>f(x)=ax,</math> però és habitual trobar-les com <math>f(x)=ax+b</math> degut al convenciment que el nom de lineal procedeix de ser línies rectes. En aquests casos es recomana seguir acuradament els textos donat pel docent concret.

Exemples de funcions lineals:

1) <math>f(x)=2x</math>

2) <math>g(x)=\frac{x}{2}</math>

3) <math>h(x)=-\frac{x}{5}</math>

==== Determinació de la recta amb punts ====

===== Mètode punt a l'origen pendent =====

<math>f(x)=\frac{a}{b}x+c</math>

===== Mètode dos punts lliures =====

<math>A=(a_1,\;a_2),\;B=(b_1,\;b_2)</math>

<math>\frac{y-a_2}{x-a_1}=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}</math>

O directament:

<math>f(x)=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}(x-a_1)+a_2</math>

=== Funcions de polinomis de grau 2 ===

Són les funcions del tipus <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> i afegirem les del tipus <math>f(x)=a(x+d)^2+e</math> perquè comparteixen algunes característiques.

Aquestes funcions són gràficament paràboles al pla.

=== Funcions de polinomis de grau 3 ===

Principalment la funció <math>f(x)=ax^3.</math>

Aquestes funcions són gràficament corbes cúbiques al pla.

=== Funció inversa ===

No és un polinomi però la pensarem com '''inversa d'un polinomi''' de grau 1, d'expressió general:

:<math>f(x)=\frac{1}{ax+b}</math>

Aquestes funcions són gràficament hipèrboles de dues fulles al pla.

== Vegis també ==
[[Escola secundària]]
*[[Matemàtiques 4 ESO]]

== Notes i referències ==

[[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]]