View source for Dải số

[[Category:Đại số]]
Dải Số là một chuổi số có định dạng 

==Thí dụ==
:{|width=100% 
|-
| Dải số của các số tự nhiên || <math>1,2,3,4,5, .... , n</math> || Dải số trên sẻ đạt vô hạn khi n tiến tới vô hạn<br><math>\lim_{n\to\infty} n = \infty</math>
|-
| Dải số của các số tự nhiên chẳn || <math> 2,4,6,8,10, ... , 2n </math>
|-
| Dải số của các số tự nhiên lẻ || <math> 1,3,5,7, ... , 2n+1 </math>
|-
|}

==Phép toán dải số==
:{|width=100% 
|-
| '''Phép toán dải số''' || '''Định nghỉa ''' || '''Ký hiệu ''' || '''Thí dụ '''
|-
| Tổng dải số ||  phép toán tìm tổng của một dải số || <math>S = \sum </math> ||  <math> S_n = \sum_{i=1}^n a_i  = 1+2+\cdots+n = 1 + 2 + 3 + ... + n = k (1 + n) </math>
|-
| Tích dải số ||  phép toán tìm tích của một dải số || <math>S = \prod </math> ||  <math> P_n = \sum_{i=1}^n a_i  = 1+2+\cdots+n = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times n = k (1 + n) </math>
|-
|}

==Tổng dải số đại số==



===Tổng chuổi số cấp số cộng===
====Dạng tổng quát====
:<math> a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a + (n-1)d] = \sum_{k=0}^{\infty} [a + (n-1)d] </math>

====Chứng minh====
:<math>\sum_{k=0}^{\infty} [a + (n-1)d]  = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a + (n-1)d] = \frac{n}{2} (2a+(n-1)d)</math>
:: <math>S = a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a + (n-1)d]</math>
:: <math>S = [a + (n-1)d] + ... + (n-1)d]  +a  </math>
:: <math>2S = [2a + (n-1)d] n </math>
:: <math>S = [2a + (n-1)d] \frac{n}{2}</math>

====Thí dụ====

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát
: <math>1,2,3,...9</math>

Tổng số của dải số
:<math>1+2+3+4+5+...9 = 50</math>

Cách giải
::<math>S = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + (5+5) = 10(5)=50</math>

===Tổng chuổi số cấp số nhân===
====Dạng tổng quát====
: <math>a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\ldots+ar^n = \sum_{k=0}^{\infty} (ar^k)</math>

====Chứng minh====
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} (ar^k) = a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\ldots+ar^n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} </math>
::<math>S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + a r^{n-1}</math>
::<math>rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ... + a r^n</math>
::<math>S-rS = a - a r^n </math>
::<math>S = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} </math>
::<math>S = \frac{a}{1-r} </math> với <math>n < 1</math>

====Thí dụ====
: <math>1 + 1.1 + 1.1^2 + 1.1^3 = 4</math>
: <math>1 + 1.2 + 1.2^2 + 1.2^3 = 1+2+4+8=15</math>

===Tổng chuổi số Pascal===
====Dạng tổng quát====
:<math>(x+y)^n=\sum_{r=0}^n{n \choose r}x^ry^{n-r}</math>
::<math>(x+y)^n = {n \choose 0} x^0y^n + {n \choose 1} x^1y^{n-1} + {n \choose 2} x^2y^{n-2}  + \dots  + {n \choose {n-2}}x^{n-2}y^2 + {n \choose {n-1}}x^{n-1}y^1 + {n \choose n}x^ny^0</math>
::<math>(x+y)^n = y^n + nxy^{n-1} + {n \choose 2} x^2y^{n-2} + \dots + {n \choose {n-2}}x^{n-2}y^2 + nx^{n-1}y + x^n</math>
Với
:<math>{n\choose r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}</math>

====Thí dụ====
{|
|- align="left"
| <math>(x+1)^1 =</math>
| align="center" | <math>1x + 1</math>
|- align="left"
| <math>(x+1)^2 =</math>
| align="center" | <math>1x^2 + 2x + 1</math>
|- align="left"
| <math>(x+1)^3 =</math>
| align="center" | <math>1x^3 + 3x^2 + 3x + 1</math>
|- align="left"
| <math>(x+1)^4 =</math>
| align="center" | <math>1x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1</math>
|- align="left"
| <math>(x+1)^5 =</math>
| align="center" | <math>1x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1</math>
|}


Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây


                                      1     1
                                   1     2     1
                                1     3     3     1
                             1     4     6     4     1
                          1     5     10    10    5     1
                       1     6     15    20    15    6     1
                    1     7     21    35    35    21    7     1
                 1     8     28    56    70    56    28    8     1
              1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
           1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
        1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

===Tổng chuổi số Taylor===
====Dạng tổng quát====
:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} </math>

===Tổng dải số Fourier===
[[File:Fourier_Series.svg|100px|right]]
====Dạng tổng quát====
Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine
:<math>s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}+\phi_n\right), \quad \text{for integer}\ N\ \ge\ 1.</math>

===Công thức tổng dải số===

:<math>\sum^{n}_{k=0}{c}=nc</math> where <math>c</math> is some constant.
:<math>\sum^{n}_{k=0}{k}=\frac{n(n+1)}{2}</math>
:<math>\sum^{n}_{k=0}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
:<math>\sum^{n}_{k=0}{k^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots=e^x</math>
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots = \ln(1+x)\quad\text{ for }|x|<1</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots = \cos(x) \quad\text{ for all }x\in\Complex</math>

==Tích dải số==
===Tích cấp số cộng ===
====Dạng tổng quát====
:<math>a_1a_2\cdots a_n </math>||<math>= a_1(a_1+d)(a_1+2d)...\left[(a_1+(n-1)d \right]</math> 
====Chứng minh====
Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử <math>a_1</math> với công sai <math>d</math>, với <math>n</math> số hạng là
{|
|<math>a_1a_2\cdots a_n </math>||<math>= a_1(a_1+d)(a_1+2d)...\left[(a_1+(n-1)d \right]</math> 
|-
| ||<math>=d^n \left(\frac {a_1} d \right)\left (\frac {a_1} d+1 \right) \left(\frac {a_1} d+2 \right)...\left[\frac {a_1} d+(n-1) \right]</math> 
|-
|||<math>=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}</math>
|-
|||<math>= d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left(a_1 / d \right) },</math>
|}

trong đó <math>x^{\overline{n}}</math> là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: ''upper factorial'')
:<math>x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}</math>
Đây là tổng quát hoá từ tích <math>1 \times 2 \times \ldots \times n</math> được ký hiệu là <math>n!</math> tới tích của
:<math>m \times (m+1) \times \ldots \times (n-1) \times n \,\!</math>

với các số nguyên dương <math>m</math> và <math>n</math> cho bởi công thức

:<math>\frac{n!}{(m-1)!}</math>

Còn <math>\Gamma</math> là ký hiệu của [[Hàm gamma]].

:<math>\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt</math>

(Công thức này không bao gồm trường hợp <math> \frac {a_1} {d}</math> là số âm hoặc không).

====Thí dụ====
: <math>1 \times 2 \times 3 \times 4 ... \times n = n!</math>

== ==
: <math>cos = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)</math> 
: <math>sin =  x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>